Tarefa Matemática 1 (Adaptada)
Uma mensagem pode ser codificada de inúmeras maneiras. Se, por exemplo, a cada letra do alfabeto for associado um número inteiro positivo
, considerando-se uma função
, de conhecimento apenas do remetente e do destinatário da mensagem, é possível estabelecer uma forma de codificação. Nesse caso, a função f é usada para codificar e sua inversa
, para decodificar a mensagem. Considerando
e
para codificar a letra U, ao invés de transmitir o número associado a ela, que é 21, transmite-se a letra associada a
, que é X. Para decodificar a letra X recebida, observa-se que ela corresponde a 24 . Logo,
, que é
.
Admitindo-se, hipoteticamente, que a função
possa ser considerada função-chave para codificação de certo padrão de mensagens, qual é a expressão de sua inversa a ser utilizada na decodificação dessas mensagens?
Passo 1
O enunciado dá a função-chave usada para codificar mensagens:
A pergunta é: qual é a expressão da função inversa
que deve ser usada na decodificação?
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:
- a função que codifica é
; - queremos uma expressão algébrica que, aplicada ao valor codificado, recupere o valor original (ou seja, a inversa).
Passo 2
O que significa “função inversa” na prática?
Se envia um valor
para um valor
, isto é
, então a inversa
é a função que pega
e devolve o
original. Em símbolos:
Se
Uma propriedade que a inversa deve satisfazer é a composição:
para todos os
no domínio apropriado. Para funções lineares do tipo
com
, existe inversa (no conjunto dos reais) porque a operação é reversível.
Passo 3
Vamos achar
resolvendo a equação
para
em termos de
. Começamos escrevendo
Agora isolamos
passo a passo.
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Em seguida dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 5
Agora renomeamos a variável dependente
por
para escrever a inversa como uma função usual (é só mudança de letra):
Passo 6
Vamos verificar rapidamente que essa é mesmo a inversa, fazendo as composições:
e
Como ambas as composições retornam
, a expressão encontrada é correta.
Passo 7
Um exemplo prático para fixar: se a mensagem codificada fornecer o número
, aplicando a inversa obtemos
e conferimos que
. Se estiver a usar apenas números inteiros para representar letras, lembre de verificar que o valor codificado permite recuperar um inteiro; caso contrário o esquema precisa de ajuste.