Tarefa Matemática 1 (Adaptada)

Uma mensagem pode ser codificada de inúmeras maneiras. Se, por exemplo, a cada letra do alfabeto for associado um número inteiro positivo n, considerando-se uma função f(n), de conhecimento apenas do remetente e do destinatário da mensagem, é possível estabelecer uma forma de codificação. Nesse caso, a função f é usada para codificar e sua inversa \mathrm{f}^{-1}, para decodificar a mensagem. Considerando \mathrm{A}=1, \mathrm{~B}=2, \ldots, \mathrm{~W}=23, \mathrm{X}=24, \mathrm{Y}=25, \mathrm{Z}=26 e f(n)= n+3 para codificar a letra U, ao invés de transmitir o número associado a ela, que é 21, transmite-se a letra associada a f(21)=24, que é X. Para decodificar a letra X recebida, observa-se que ela corresponde a 24 . Logo, f^{-1}(24)=21, que é U.
Admitindo-se, hipoteticamente, que a função f(x)=2 x+3 possa ser considerada função-chave para codificação de certo padrão de mensagens, qual é a expressão de sua inversa a ser utilizada na decodificação dessas mensagens?

Passo 1

O enunciado dá a função-chave usada para codificar mensagens:
f(x)=2x+3.
A pergunta é: qual é a expressão da função inversa f^{-1} que deve ser usada na decodificação?
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:
  • a função que codifica é f(x)=2x+3;
  • queremos uma expressão algébrica que, aplicada ao valor codificado, recupere o valor original (ou seja, a inversa).

Passo 2

O que significa “função inversa” na prática?
Se f envia um valor x para um valor y, isto é y=f(x), então a inversa f^{-1} é a função que pega y e devolve o x original. Em símbolos:
f(x)=y \quad\Longleftrightarrow\quad f^{-1}(y)=x.
Uma propriedade que a inversa deve satisfazer é a composição:
f\bigl(f^{-1}(t)\bigr)=t \quad\text{e}\quad f^{-1}\bigl(f(t)\bigr)=t
para todos os t no domínio apropriado. Para funções lineares do tipo ax+b com a\neq0, existe inversa (no conjunto dos reais) porque a operação é reversível.

Passo 3

Vamos achar f^{-1} resolvendo a equação y=f(x) para x em termos de y. Começamos escrevendo
y=2x+3.
Agora isolamos x passo a passo.

Passo 4

Subtraindo 3 de ambos os lados obtemos
y-3=2x.
Em seguida dividimos ambos os lados por 2 para isolar x:
x=\frac{y-3}{2}.

Passo 5

Agora renomeamos a variável dependente y por x para escrever a inversa como uma função usual (é só mudança de letra):
f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.

Passo 6

Vamos verificar rapidamente que essa é mesmo a inversa, fazendo as composições:
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3 = x-3+3 = x,
e
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\frac{2x+3-3}{2}=\frac{2x}{2}=x.
Como ambas as composições retornam x, a expressão encontrada é correta.

Passo 7

Um exemplo prático para fixar: se a mensagem codificada fornecer o número 11, aplicando a inversa obtemos
f^{-1}(11)=\frac{11-3}{2}=\frac{8}{2}=4,
e conferimos que f(4)=2\cdot4+3=11. Se estiver a usar apenas números inteiros para representar letras, lembre de verificar que o valor codificado permite recuperar um inteiro; caso contrário o esquema precisa de ajuste.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}

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