(Tarefa!) Verifique que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre
limxto pf(x)=0
e
limxto p|f(x)|=0
O conteúdo aqui é a definição de limite de função em termos de varepsilon de<a. Vamos provar as duas implicações usando essa definição.

Passo 2

Prova de “ limxto pf(x)=0 implica limxto p|f(x)|=0”.
Suponha limxto pf(x)=0. Pela definição, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
0<|x-p|<de<a Longrightarrow |f(x)-0|<varepsilon
Mas |f(x)-0|=|f(x)|. Logo, sob a mesma condição de x,
l||f(x)|-0r|=|f(x)|<varepsilon,
o que prova que limxto p|f(x)|=0.

Passo 3

Prova de “ limxto p|f(x)|=0 implica limxto pf(x)=0”.
Suponha limxto p|f(x)|=0. Então, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
0<|x-p|<de<a Longrightarrow l||f(x)|-0r|<varepsilon
Mas l||f(x)|-0r|=|f(x)|, e também |f(x)|=|f(x)-0|. Portanto, sob a mesma condição de x,
|f(x)-0|<varepsilon,
o que mostra que limxto pf(x)=0.

Passo 4

Como provamos ambas as implicações, concluímos a equivalência desejada.

Resposta

limxto pf(x)=0 Long<=ftrightarrow limxto p|f(x)|=0

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