(Tarefa!) Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre
e
O conteúdo aqui é a definição de limite de função em termos de
–
. Vamos provar as duas implicações usando essa definição.
Passo 2
Prova de “
implica
”.
Suponha . Pela definição, para todo
existe
tal que
Suponha
Mas
. Logo, sob a mesma condição de
,
o que prova que
limxto p|f(x)|=0 .
Passo 3
Prova de “
limxto p|f(x)|=0 implica
limxto pf(x)=0 ”.
Suponhalimxto p|f(x)|=0 . Então, para todo
varepsilon>0 existe
de<a>0 tal que
Suponha
Mas
l||f(x)|-0r|=|f(x)| , e também
|f(x)|=|f(x)-0| . Portanto, sob a mesma condição de
x ,
o que mostra que
limxto pf(x)=0 .
Passo 4
Como provamos ambas as implicações, concluímos a equivalência desejada.