Tarzan, de massa
, está balançando em um cipó de tamanho
, tendo saído do galho de uma árvore com altura
. Quando passa perto do chão agarra uma jaca de massa
e mal consegue chegar a uma outra árvore, à altura
. Calcule
em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos o Tarzan balançando em um cipó de comprimento
, saindo de uma árvore que está a uma altura
. Quando ele chega perto do chão, ele agarra uma jaca de massa
e precisa subir até outra árvore que está a uma altura
. Queremos descobrir a altura
em termos de
,
(massa do Tarzan) e
.
Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Conservação da Energia, que nos diz que a energia total em um sistema fechado permanece constante, a menos que haja trabalho externo sendo feito. No nosso caso, vamos considerar a energia potencial gravitacional e a energia cinética de Tarzan antes e depois de agarrar a jaca.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na posição inicial de Tarzan. Ele está na altura
, então sua energia potencial gravitacional inicial (
) é dada por:
Onde:
-
é a massa do Tarzan, -
é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ), -
é a altura inicial.
Na posição inicial, ele está parado, então sua energia cinética (
) é zero.
Passo 3
Quando Tarzan balança para baixo e chega no ponto mais baixo do seu movimento (onde ele agarra a jaca), toda a energia potencial inicial foi convertida em energia cinética (
). Assim:
A energia cinética no ponto mais baixo é dada por:
Onde
é a velocidade de Tarzan no ponto mais baixo.
Portanto, podemos igualar as duas expressões:
Simplificando:
Passo 4
Agora, quando Tarzan agarra a jaca de massa
, a massa total que ele está movimentando passa a ser
. Imaginando que essa captura de massa ocorre instantaneamente no ponto mais baixo, a velocidade dele no instante em que começa a subir na nova árvore será diminuída devido ao aumento da massa.
Aplicando a conservação da quantidade de movimento:
Onde
é a nova velocidade após agarrar a jaca.
Resolvendo para
:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 5
Agora, Tarzan com a massa aumentada sobe até a altura
. No ponto mais alto dessa subida, toda a energia cinética convertida se transforma em energia potencial. Então, a energia cinética após agarrar a jaca é igual à energia potencial na altura
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos
da etapa anterior na equação obtida na etapa 4:
Calculando o quadrado:
Cancelando
dos dois lados:
Passo 7
Agora, queremos encontrar
em termos de
,
e
. Vamos resolver a equação para
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A altura inicial
é dada por: