Tarzan, de massa M, está balançando em um cipó de tamanho L, tendo saído do galho de uma árvore com altura H. Quando passa perto do chão agarra uma jaca de massa m e mal consegue chegar a uma outra árvore, à altura h. Calcule H em termos de m, M e h.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos o Tarzan balançando em um cipó de comprimento L, saindo de uma árvore que está a uma altura H. Quando ele chega perto do chão, ele agarra uma jaca de massa m e precisa subir até outra árvore que está a uma altura h. Queremos descobrir a altura H em termos de m, M (massa do Tarzan) e h.
Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Conservação da Energia, que nos diz que a energia total em um sistema fechado permanece constante, a menos que haja trabalho externo sendo feito. No nosso caso, vamos considerar a energia potencial gravitacional e a energia cinética de Tarzan antes e depois de agarrar a jaca.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na posição inicial de Tarzan. Ele está na altura H, então sua energia potencial gravitacional inicial ( EPi) é dada por:
EPi = M cdot g cdot H
Onde:
  • M é a massa do Tarzan,
  • g é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s²²),
  • H é a altura inicial.
Na posição inicial, ele está parado, então sua energia cinética ( ECi) é zero.

Passo 3

Quando Tarzan balança para baixo e chega no ponto mais baixo do seu movimento (onde ele agarra a jaca), toda a energia potencial inicial foi convertida em energia cinética ( ECb). Assim:
ECb = EPi = M cdot g cdot H
A energia cinética no ponto mais baixo é dada por:
ECb = 12 M v^2
Onde v é a velocidade de Tarzan no ponto mais baixo.
Portanto, podemos igualar as duas expressões:
12 M v^2 = M cdot g cdot H
Simplificando:
v^2 = 2 g H

Passo 4

Agora, quando Tarzan agarra a jaca de massa m, a massa total que ele está movimentando passa a ser M + m. Imaginando que essa captura de massa ocorre instantaneamente no ponto mais baixo, a velocidade dele no instante em que começa a subir na nova árvore será diminuída devido ao aumento da massa.
Aplicando a conservação da quantidade de movimento:
M v = (M + m) v'
Onde v' é a nova velocidade após agarrar a jaca.
Resolvendo para v':
v' = MM + m v
Substituindo v da etapa anterior:
v' = MM + m raiz2 g H

Passo 5

Agora, Tarzan com a massa aumentada sobe até a altura h. No ponto mais alto dessa subida, toda a energia cinética convertida se transforma em energia potencial. Então, a energia cinética após agarrar a jaca é igual à energia potencial na altura h:
12 (M + m) v'^2 = (M + m) g h
Simplificando:
v'^2 = 2 g h

Passo 6

Agora, substituímos v'^2 da etapa anterior na equação obtida na etapa 4:
( MM + m raiz2 g H )^2 = 2 g h
Calculando o quadrado:
M^2(M + m)^2 cdot 2 g H = 2 g h
Cancelando 2 g dos dois lados:
M^2(M + m)^2 cdot H = h

Passo 7

Agora, queremos encontrar H em termos de m, M e h. Vamos resolver a equação para H:
H = h cdot (M + m)^2M^2
Simplificando a expressão:
H = h ( M + mM )^2

Resposta

A altura inicial H é dada por:
H = h ( M + mM )^2

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