Exercício 41. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y)= e^(1x^2+y^2-1) & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= exp!(1x^2+y^2-1),&se x^2+y^2<1,[6pt] 0,&se x^2+y^2>=1
Queremos determinar em que pontos de R^2 a função é diferenciável. O conteúdo principal envolve a diferenciabilidade de funções recombinadas peça a peça e o comportamento de derivadas em pontos de fronteira de regiões.]

Passo 2

Primeiro, note que em (x,y)mid x^2+y^2<1 temos x^2+y^2-1neq0 e
f(x,y)=expl(u(x,y)r), u(x,y)=1x^2+y^2-1
Como u é composta de soma, produto e inversão de funções polinomiais (todas C^infty onde o denominador não é zero) e exp é C^infty em toda parte, segue que f é C^infty em x^2+y^2<1. Em particular, é diferenciável em cada ponto interno ao disco.

Passo 3

Em (x,y)mid x^2+y^2>1, temos f(x,y)=0, função constante. Logo, em toda essa região f é C^infty (derivadas iguais a zero) e, portanto, diferenciável.

Passo 4

Resta verificar os pontos da fronteira x^2+y^2=1. Chamando r^2=x^2+y^2, para (x,y) com r<1 calculamos
partial fpartial x =exp!l(tfrac1r^2-1r)cdot partialpartial xl(tfrac1r^2-1r) =-2x(r^2-1)^2, exp!l(tfrac1r^2-1r),
e analogamente
partial fpartial y =-2y(r^2-1)^2, exp!l(tfrac1r^2-1r)
Ao aproximar (x,y)to (x0,y0) com rto1^-, ponha t=r^2-1<0. Então tto0^- e
expl(tfrac1tr) ;decai mais rápido que qualquer potência de |t|, áê
portanto
limtto0^- exp(1/t)t^2=0
Dessa forma, tanto partial f/partial x quanto partial f/partial y tendem a zero conforme nos aproximamos da fronteira pelo interior do disco. Do lado exterior, as derivadas são identicamente zero. Logo, os limites das derivadas laterais coincidem (ambos iguais a zero) em cada ponto da circunferência x^2+y^2=1, garantindo que f seja diferenciável também nesses pontos.

Passo 5

Combinando:
  • em x^2+y^2<1 e em x^2+y^2>1, f é C^infty;
  • em x^2+y^2=1, verificamos que todas as derivadas parciais laterais coincidem e existem.
Portanto, f é diferenciável em todo R^2.

Resposta

A função f é diferenciável em todos os pontos de R^2.

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