A taxa de juros nominal para um empréstimo ao consumidor de 2007 a 2008 é de 8,5 \% e a taxa real de juros é de 4,5 \%. Se o índice de preços ao consumidor fosse 200 em 2007, qual seria o valor do índice de preços ao consumidor em 2008?
a. 192
b. 208
c. 209
d. 217

Passo 1

O enunciado pede: qual será o valor do índice de preços ao consumidor em 2008, dado que a taxa de juros nominal entre 2007 e 2008 é 8,5\%, a taxa de juros real é 4,5\% e o índice de preços ao consumidor em 2007 é 200. Informações dadas:
\text{taxa nominal } i_n = 8,5\%,
\text{taxa real } i_r = 4,5\%,
\text{CPI em 2007} = 200.
O que se pergunta: qual o valor do CPI em 2008?

Passo 2

Vamos entender as variáveis e a relação entre elas. A taxa nominal i_n é a taxa observada no mercado (inclui efeito da inflação). A taxa real i_r é a taxa ajustada pela inflação (mostra o ganho de poder de compra). A inflação (taxa de variação dos preços) vou chamar de \pi. A relação exata entre essas três quantidades é dada pela equação de Fisher multiplicativa:
1 + i_n = (1 + i_r)(1 + \pi).
Explicando: multiplicamos 1+i_r (fator de crescimento real) por 1+\pi (fator de crescimento dos preços) para obter 1+i_n (fator de crescimento observado). Essa fórmula é exata; às vezes vemos uma aproximação i_n \approx i_r + \pi, mas aqui usaremos a forma exata porque é simples e precisa.

Passo 3

Isolamos \pi na equação de Fisher para poder calcular a inflação:
1 + \pi = \frac{1 + i_n}{1 + i_r},
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\pi = \frac{1 + i_n}{1 + i_r} - 1.
Aqui \pi é a taxa de inflação (em forma decimal).

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Em forma decimal:
i_n = 0,085,\quad i_r = 0,045.
Calculemos os fatores:
1 + i_n = 1,085,
1 + i_r = 1,045.

Passo 5

Calculamos a inflação \pi:
\pi = \frac{1,085}{1,045} - 1.
Observação algebraica útil: \dfrac{1,085}{1,045}=\dfrac{1085}{1045}. Dividindo numerador e denominador por 5 obtemos
\frac{1085}{1045}=\frac{217}{209}.
Portanto
\pi = \frac{217}{209} - 1 = \frac{8}{209}.
Em forma decimal isso vale aproximadamente
\pi \approx 0,0382775\quad\text{ou}\quad 3,82775\%.

Passo 6

Agora usamos \pi para atualizar o índice de preços. O CPI em 2008 é o CPI de 2007 multiplicado por 1+\pi:
\text{CPI}_{2008} = 200\,(1+\pi) = 200\cdot\frac{217}{209} = \frac{43400}{209}.
Em decimal:
\text{CPI}_{2008} \approx 207,6555\ldots
Arredondando ao inteiro mais próximo (como nas alternativas fornecidas), isso dá 208.

Passo 7

Resumo do raciocínio: a equação de Fisher nos deu a inflação exata \pi=\dfrac{8}{209}\approx0,03828. Aplicando essa inflação ao CPI de 200, obtemos aproximadamente 207,66, que arredondado corresponde a 208.

Resposta

(b) 208

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