1. A taxa de perda de calor de um corpo para o ambiente (em Joules/minuto) é modelada por d Qd t=-5(T(t)-Tamb), onde T(t) é a temperatura do corpo e Tamb=20^circ C é a temperatura ambiente. Se, por algum outro processo, soubermos que a taxa de variação da temperatura do corpo segue a lei d Td t=-0.8 e^-0.02 t ^circ C / min e que T(0)=100^circ C. Qual será a temperatura do corpo após 1 hora (60 minutos)? (Nota: Este problema fornece diretamente d Td t para simplificar).

Passo 1

O enunciado nos dá diretamente a taxa de variação da temperatura do corpo como
dTdt = -0.8,e^-0.02t(!^circ C/min!)
com condição inicial T(0)=100,^circ C. O objetivo é encontrar T(60). Para isso, vamos resolver a equação diferencial por integração.

Passo 2

Integramos ambos os lados da equação
dTdt = -0.8,e^-0.02t
em relação a t. Como dTdt é a derivada de T, obtemos
T(t) = integral -0.8,e^-0.02t,dt + C

Passo 3

Calculamos a integral
integral -0.8,e^-0.02t,dt = -0.8 integral e^-0.02t,dt = -0.8 l(-10.02r)e^-0.02t = 40,e^-0.02t
Logo a solução geral é
T(t) = 40,e^-0.02t + C

Passo 4

Usamos a condição inicial T(0)=100:
T(0) = 40,e^0 + C = 40 + C = 100 Longrightarrow C = 60
Portanto
T(t) = 40,e^-0.02t + 60

Passo 5

Agora avaliamos em t=60 minutos:
T(60) = 40,e^-0.02cdot60 + 60 = 40,e^-1.2 + 60

Resposta

T(60) = 60 + 40,e^-1.2approx 72,05;^circ C

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