Durante determinado período, um escritório de tecnologia da informação de uma universidade recebeu 20 ordens de serviço de problemas com impressoras, das quais 8 de impressoras a laser e 12 a jato de tinta. Uma amostra de 5 dessas ordens de serviço será selecionada para inclusão em uma pesquisa de satisfação do cliente. Suponha que as 5 sejam selecionadas de forma completamente aleatória para que qualquer subconjunto de tamanho 5 tenha a mesma possibilidade de ser selecionado. Qual será a probabilidade de exatamente 2 das ordens de serviço selecionadas serem de impressoras a jato de tinta?

Passo 1

O enunciado diz que há 20 ordens de serviço, sendo 12 de impressoras a jato de tinta e 8 a laser, e escolhemos 5 ao acaso. Queremos a chance de exatamente 2 das 5 serem de jato de tinta. Aqui usamos a distribuição hipergeométrica, que modela seleções sem reposição de uma população finita.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica com população de tamanho N, onde há K “sucessos” e N-K “fracassos”, ao sortearmos n itens, a probabilidade de obter exatamente k sucessos é
P(X=k) ;=; binomKk,binomN-K,n-k, binomNn

Passo 3

Aqui temos N=20, K=12, n=5 e queremos k=2. Então
binomKk=binom122=66, binomN-K,n-k,=binom83=56, binomNn=binom205=15504

Passo 4

Substituindo na fórmula:
P(X=2) =66cdot5615504 =369615504 approx0,2382

Resposta

P(exatamente 2 jato de tinta) =binom122,binom83binom205approx0,2382

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