Em uma pesquisa de opinião realizada Organização de Pesquisa Survey foi feita a seguinte pergunta aos entrevistados: “A qual esporte você prefere assistir?” O futebol e o basquetebol classificaram-se em primeiro e segundo lugares, respectivamente, em termos de preferência. Suponha que em um grupo de
dez pessoas, sete preferem futebol e três, basquete. Uma amostra aleatória de três dessas pessoas é selecionada.
(a) Qual é a probabilidade de exatamente duas preferirem futebol?
(b) Qual é a probabilidade de a maioria (duas ou três) preferir futebol?
(c) Calcule o valor médio esperado e a variância para os que preferem futebol.

Passo 1

O enunciado considera uma população de tamanho N=10, com K=7 pessoas que preferem futebol e N-K=3 que preferem basquete. Seleciona-se aleatoriamente uma amostra de tamanho n=3 sem reposição. A variável aleatória X, número de pessoas que preferem futebol na amostra, segue distribuição hipergeométrica. Vamos usar a fórmula dessa distribuição para calcular as probabilidades pedidas e depois obter o valor médio e a variância.

Passo 2

A função massa de probabilidade da hipergeométrica é
P(X=k) ;=;binomKk,binomN-K,n-k,binomNn
Para exatamente duas pessoas preferirem futebol ( k=2):
P(X=2) =binom72,binom31binom103 =21cdot 3120 =63120 =2140 approx0,525

Passo 3

Para a maioria (duas ou três), somamos P(X=2) e P(X=3). Primeiro
P(X=3) =binom73,binom30binom103 =35cdot1120 =724 approx0,2917
Logo
P(X>=2) =P(X=2)+P(X=3) =2140+724 =63+35120 =98120 =4960 approx0,8167

Passo 4

Para a distribuição hipergeométrica, o valor médio e a variância são
E[X] =nKN =3710 =2110 =2,1,
Var(X) =nKNN-KNN-nN-1 =371031079 =49100 =0,49

Resposta

(a) 2140approx0,525
(b) 4960approx0,8167
(c) E[X]=2110=2,1, Var(X)=49100=0,49

Exercícios relacionados