A taxa de rotação mais rápida possível de um planeta esférico é aquela para a qual a força gravitacional sobre o material no equador fornece a força centrípeta ligeiramente inferior à necessária para a rotação. Calcule o período de rotação mais curto supondo a massa específica do planeta de 5,0 g / cm^3.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o período de rotação mais curto de um planeta esférico, supondo que a densidade dele é de .
Conteúdo: mecânica básica (força gravitacional e força centrípeta), mais noção de densidade e massa de uma esfera.
O que vamos usar:
  • Lei da gravitação universal:
  • Força centrípeta necessária pra um ponto na superfície girar:
  • Relação entre massa e densidade:

Passo 2

Pra achar o limite de rotação, a força gravitacional no equador tem que ser igual à centrípeta que tenta “arremessar” a matéria pra fora. Ou seja:
G,M,mR^2 ;=; m,omega^2,R
A gente pode cancelar o massinha G,MR^2 = omega^2,R Longrightarrow omega^2 = G,MR^3 e ficar com

Passo 3

Substitui M = rho ,43pi R^3 Longrightarrow omega^2 = G,rho,tfrac43pi R^3R^3 = 43,pi,G,rho em função da densidade omega = raiz43,pi,G,rho :
T = 2piomega = 2piraiztfrac43pi Grho = raiz3piG,rho
Então
E o período (tempo de uma volta) é

Passo 4

Agora, manda a densidade em SI:
rho = 5,0 g/cm^3 = 5000 kg/m^3, G = 6,67times10^-11 m^3/(kg,s^2)
Logo
T = raiz3pi(6,67times10^-11)(5000) approx raiz9,4253,335times10^-7 approx raiz2,825times10^7 approx 5,316 s
Convertendo pra horas:
5,316 s div 3600 approx 1,48 h (approx 1 h,29 min)

Resposta

O período de rotação mais curto é cerca de 1,5 horas.

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