Qual a taxa de variação do IMC em relação a altura, se ele crescer 1 cm de altura?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a taxa de variação do IMC em função da altura quando a altura cresce 1 cm, assumindo que a massa corporal m permanece constante. O conteúdo aqui é cálculo de derivada de uma função do tipo quociente ou potência.

Passo 2

O IMC (índice de massa corporal) é definido por
\text{IMC}(h)=\frac{m}{h^{2}}
onde m é a massa (em kg) e h é a altura (em metros).

Passo 3

Para achar a taxa de variação de \text{IMC} em relação a h, calculamos a derivada
\frac{d}{dh}\biggl(\frac{m}{h^{2}}\biggr)
usando a regra da potência: se f(h)=h^{-2}, então f'(h)=-2\,h^{-3}. Assim,
\frac{d\,\text{IMC}}{dh} =\;m\cdot\frac{d}{dh}\bigl(h^{-2}\bigr) =\;m\cdot\bigl(-2\,h^{-3}\bigr) =\;-\frac{2\,m}{h^{3}}.

Passo 4

Essa derivada d\,\text{IMC}/dh tem unidades de \text{(kg/m}^2)/\text{m}. Para um pequeno aumento de altura \Delta h, a variação aproximada do IMC é
\Delta\text{IMC} \approx \frac{d\,\text{IMC}}{dh}\,\Delta h =-\frac{2\,m}{h^{3}}\;\Delta h.
No caso de \Delta h=1\text{ cm}=0{,}01\text{ m},
\Delta\text{IMC} \approx -\frac{2\,m}{h^{3}}\times 0{,}01.

Resposta

A taxa de variação do IMC em relação à altura é
\frac{d\,\text{IMC}}{dh} =-\frac{2\,m}{h^{3}},
e para um aumento de 1\text{ cm} \Delta h=0{,}01\text{ m}
\Delta\text{IMC}\approx -\frac{2\,m}{h^{3}}\times 0{,}01.

Exercícios relacionados