Em cada problema 25 e 26, achar o valor de (b) para o qual a equação é exata e resolver cada equação com este valor de (b).
25- (\left(x y^{2}+b x^{2} y\right) d x+(x+y) x^{2} d y=0).
25- (\left(x y^{2}+b x^{2} y\right) d x+(x+y) x^{2} d y=0).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que tem a forma
. O conteúdo aqui é sobre equações exatas: vamos usar a condição de exatidão
para determinar
e, em seguida, construir a função potencial
cuja diferencial total se anula.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
Impondo exatidão:
Passo 3
Com
, temos
Integramos
em relação a
para obter uma função candidata
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para ajustar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Passo 5
Assim, a solução implícita geral é
onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
O valor de
que torna a equação exata é
A solução geral (implícita) dessa equação é
A solução geral (implícita) dessa equação é