Em cada problema 25 e 26, achar o valor de (b) para o qual a equação é exata e resolver cada equação com este valor de (b).
25- (\left(x y^{2}+b x^{2} y\right) d x+(x+y) x^{2} d y=0).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(xy^{2}+b x^{2}y\bigr)\,dx \;+\;(x+y)x^{2}\,dy = 0,
que tem a forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. O conteúdo aqui é sobre equações exatas: vamos usar a condição de exatidão
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
para determinar b e, em seguida, construir a função potencial \psi(x,y) cuja diferencial total se anula.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=xy^{2}+b x^{2}y, \quad N(x,y)=x^{3}+x^{2}y.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =2xy + b x^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =3x^{2} +2xy.
Impondo exatidão:
2xy + b x^{2} = 3x^{2} +2xy \quad\Longrightarrow\quad b x^{2}=3x^{2} \quad\Longrightarrow\quad b=3.

Passo 3

Com b=3, temos
M(x,y)=xy^{2}+3x^{2}y.
Integramos M em relação a x para obter uma função candidata \psi(x,y):
\psi(x,y) =\int\bigl(xy^{2}+3x^{2}y\bigr)\,dx =\frac{x^{2}y^{2}}{2} + x^{3}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para ajustar h(y), diferenciamos \psi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x^{2}y + x^{3} + h'(y) \stackrel{!}{=} x^{3}+x^{2}y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=C.

Passo 5

Assim, a solução implícita geral é
\psi(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y = C,
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

O valor de b que torna a equação exata é b=3.
A solução geral (implícita) dessa equação é
\frac{x^{2}y^{2}}{2} + x^{3}y = C.

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