Use a transformada de Laplace para resolver o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, temos uma equação linear com coeficientes constantes e uma função forçada do tipo exponencial. Para resolver, vamos precisar da Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é:
E para $ y’(t) $:
E para $ y(t) $:
A Transformada de $ 4e^{-t} $ é:
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação, temos:
Substituindo pelas transformadas que mencionamos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos com $ Y(s) $ e os termos constantes:
Passo 5
Isolando $ Y(s) $, temos:
Observamos que $ s^2 + 2s + 1 = (s + 1)^2 $, então podemos simplificar:
Passo 6
Agora, vamos decompor $ Y(s) $ em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa:
Podemos reescrever $ 2s + 3 $ como $ 2(s + 1) + 1 $:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Passo 8
Finalmente, somamos todas as soluções encontradas:
Podemos fatorar $ e^{-t} $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: