Use a transformada de Laplace para resolver o PVI:
y^prime prime+2 y^prime+y=4 e^-t, y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 2y' + y = 4e^-t, y(0) = 2, y'(0) = -1
Aqui, temos uma equação linear com coeficientes constantes e uma função forçada do tipo exponencial. Para resolver, vamos precisar da Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é:
y''(t)
E para $ y’(t) $:
Ly''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E para $ y(t) $:
y'(t)
A Transformada de $ 4e^{-t} $ é:
Ly'(t) = s Y(s) - y(0)

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação, temos:
Ly'' + 2Ly' + Ly = L4e^-t
Substituindo pelas transformadas que mencionamos:
(s^2 Y(s) - s cdot 2 - (-1)) + 2(s Y(s) - 2) + Y(s) = 4s + 1

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
s^2 Y(s) - 2s + 1 + 2s Y(s) - 4 + Y(s) = 4s + 1
Juntando os termos com $ Y(s) $ e os termos constantes:
Y(s)

Passo 5

Isolando $ Y(s) $, temos:
Y(s)
Observamos que $ s^2 + 2s + 1 = (s + 1)^2 $, então podemos simplificar:
Y(s) = 4(s + 1)(s^2 + 2s + 1) + 2s + 3s^2 + 2s + 1

Passo 6

Agora, vamos decompor $ Y(s) $ em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa:
Y(s)
Podemos reescrever $ 2s + 3 $ como $ 2(s + 1) + 1 $:
Y(s) = 4(s + 1)^3 + 2s + 3(s + 1)^2

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
L^-14(s + 1)^3 = 4 cdot t^22 e^-t = 2t^2 e^-t
L^-12s + 1 = 2 e^-t
L^-11(s + 1)^2 = t e^-t

Passo 8

Finalmente, somamos todas as soluções encontradas:
y(t) = 2t^2 e^-t + 2 e^-t + t e^-t
Podemos fatorar $ e^{-t} $:
e^-t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^-t (2t^2 + t + 2)

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