Demonstre se
ao ano é proporcional a
ao trimestre.
Passo 1
O enunciado dá duas taxas e pede para verificar se uma é proporcional à outra. Dados:
- Taxa anual:
ao ano. - Taxa trimestral:
ao trimestre.
A pergunta é: “36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre?”
Nota importante (interpretações possíveis): a expressão “proporcional” pode ser entendida de dois jeitos comuns em finanças/juros:
Nota importante (interpretações possíveis): a expressão “proporcional” pode ser entendida de dois jeitos comuns em finanças/juros:
- Interpretação A — proporcionalidade em regime de juros simples (taxa anual = número de períodos × taxa por período).
- Interpretação B — equivalência em regime de capitalização composta (taxa anual efetiva igual à taxa por trimestre composta por 4 trimestres).
Vou testar as duas interpretações para ter certeza do que acontece.
Passo 2
Explicando juros simples (interpretação A) de forma direta e aplicada. Conceito: em juros simples a taxa é proporcional ao tempo — se a taxa por trimestre é
, então a taxa para
trimestres é
. Aqui há
trimestres em um ano, então a taxa anual simples correspondente a
ao trimestre é:
Interpretação prática: sob juros simples, cobrar
por trimestre significa cobrar
no ano (pois soma-se linearmente). Como
, concluímos que NÃO são proporcionais se usarmos juros simples.
Breve exemplo extra para fixar (sem complicar): se alguém diz “5% ao mês” em juros simples, em 12 meses isso seria
. É o mesmo raciocínio linear.
Passo 3
Agora explicando juros compostos (interpretação B), que é mais usada quando se fala em “equivalência de taxas”. Conceito: duas taxas em períodos diferentes são equivalentes se geram o mesmo fator de acumulação no mesmo intervalo de tempo. Fator de acumulação anual para uma taxa anual efetiva
é
. Para uma taxa trimestral
capitalizada a cada trimestre durante 4 trimestres, o fator anual é
. Para equivalência, exige-se:
Aplicando a isso com
:
Calcule passo a passo:
Logo a taxa anual efetiva correspondente é
Portanto, com capitalização composta,
ao trimestre equivale a aproximadamente
ao ano. Isso também NÃO é igual a
.
Passo 4
Para completar a comparação, calculemos a taxa trimestral equivalente a
ao ano em regime composto (ou seja, qual taxa por trimestre gera exatamente
no ano). Usamos a relação inversa:
Calculando:
Logo
Interpretação: se a taxa anual efetiva é
, isso equivale a cerca de
por trimestre em capitalização composta — muito abaixo dos
dados.
Passo 5
Conclusão didática e motivadora: portanto, em ambas as interpretações relevantes:
- Em juros simples,
ao trimestre corresponde a ao ano (logo diferente de ). - Em juros compostos,
ao trimestre corresponde a aproximadamente ao ano (também diferente de ); e ao ano corresponde a aproximadamente ao trimestre.
Logo a resposta simples e direta é que NÃO,
ao ano não é proporcional a
ao trimestre.
Resposta
Não. Em juros simples
ao trimestre
ao ano; em juros compostos
ao trimestre
ao ano, e
ao ano equivale a
ao trimestre.