Demonstre se 36 \% ao ano é proporcional a 12 \% ao trimestre.

Passo 1

O enunciado dá duas taxas e pede para verificar se uma é proporcional à outra. Dados:
  • Taxa anual: \,36\% ao ano.
  • Taxa trimestral: \,12\% ao trimestre.
A pergunta é: “36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre?”
Nota importante (interpretações possíveis): a expressão “proporcional” pode ser entendida de dois jeitos comuns em finanças/juros:
  • Interpretação A — proporcionalidade em regime de juros simples (taxa anual = número de períodos × taxa por período).
  • Interpretação B — equivalência em regime de capitalização composta (taxa anual efetiva igual à taxa por trimestre composta por 4 trimestres).
Vou testar as duas interpretações para ter certeza do que acontece.

Passo 2

Explicando juros simples (interpretação A) de forma direta e aplicada. Conceito: em juros simples a taxa é proporcional ao tempo — se a taxa por trimestre é \,r_{\text{tri}}, então a taxa para n trimestres é n\cdot r_{\text{tri}}. Aqui há 4 trimestres em um ano, então a taxa anual simples correspondente a \,12\% ao trimestre é:
r_{\text{ano (simples)}} = 4 \times 12\% = 48\%.
Interpretação prática: sob juros simples, cobrar 12\% por trimestre significa cobrar 48\% no ano (pois soma-se linearmente). Como \,48\%\neq36\%, concluímos que NÃO são proporcionais se usarmos juros simples.
Breve exemplo extra para fixar (sem complicar): se alguém diz “5% ao mês” em juros simples, em 12 meses isso seria 12\times5\%=60\%. É o mesmo raciocínio linear.

Passo 3

Agora explicando juros compostos (interpretação B), que é mais usada quando se fala em “equivalência de taxas”. Conceito: duas taxas em períodos diferentes são equivalentes se geram o mesmo fator de acumulação no mesmo intervalo de tempo. Fator de acumulação anual para uma taxa anual efetiva r_{\text{ano}} é (1+r_{\text{ano}}). Para uma taxa trimestral r_{\text{tri}} capitalizada a cada trimestre durante 4 trimestres, o fator anual é (1+r_{\text{tri}})^4. Para equivalência, exige-se:
1 + r_{\text{ano}} = (1 + r_{\text{tri}})^4.
Aplicando a isso com r_{\text{tri}}=12\%=0{,}12:
1 + r_{\text{ano}} = (1+0{,}12)^4 = 1{,}12^4.
Calcule passo a passo:
1{,}12^2 = 1{,}2544,
1{,}12^4 = 1{,}2544^2 = 1{,}573517\ldots
Logo a taxa anual efetiva correspondente é
r_{\text{ano (composto)}} = 1{,}12^4 - 1 \approx 0{,}573517\ldots = 57{,}3517\%.
Portanto, com capitalização composta, \,12\% ao trimestre equivale a aproximadamente \,57{,}35\% ao ano. Isso também NÃO é igual a \,36\%.

Passo 4

Para completar a comparação, calculemos a taxa trimestral equivalente a \,36\% ao ano em regime composto (ou seja, qual taxa por trimestre gera exatamente 36\% no ano). Usamos a relação inversa:
1 + r_{\text{tri}} = (1 + r_{\text{ano}})^{1/4} = 1{,}36^{1/4}.
Calculando:
1{,}36^{1/2} = 1{,}166190\ldots
1{,}36^{1/4} = \sqrt{1{,}166190\ldots} \approx 1{,}07989\ldots
Logo
r_{\text{tri (equiv a 36\% a.a.)}} \approx 1{,}07989 - 1 = 0{,}07989\ldots = 7{,}989\%\\ (\text{aprox. }7{,}99\%).
Interpretação: se a taxa anual efetiva é \,36\%, isso equivale a cerca de \,7{,}99\% por trimestre em capitalização composta — muito abaixo dos \,12\% dados.

Passo 5

Conclusão didática e motivadora: portanto, em ambas as interpretações relevantes:
  • Em juros simples, \,12\% ao trimestre corresponde a \,48\% ao ano (logo diferente de \,36\%).
  • Em juros compostos, \,12\% ao trimestre corresponde a aproximadamente \,57{,}35\% ao ano (também diferente de \,36\%); e \,36\% ao ano corresponde a aproximadamente \,7{,}99\% ao trimestre.
Logo a resposta simples e direta é que NÃO, \,36\% ao ano não é proporcional a \,12\% ao trimestre.

Resposta

Não. Em juros simples 12\% ao trimestre \Rightarrow 48\% ao ano; em juros compostos 12\% ao trimestre \Rightarrow (1{,}12)^4-1\approx57{,}3517\% ao ano, e 36\% ao ano equivale a (1{,}36)^{1/4}-1\approx7{,}99\% ao trimestre.

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