(Taxas relacionadas - 2,5 pontos) Um balão esférico está sendo inflado de tal forma uma taxa de
, Qual a taxa de crecimento do diâmetro quando ele mede 9 m ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
Dado: a taxa de variação do volume é .
Dado: o diâmetro no instante considerado é .
Pergunta: qual é a taxa de crescimento do diâmetro, ou seja, , naquele instante?
Dado: a taxa de variação do volume é
Dado: o diâmetro no instante considerado é
Pergunta: qual é a taxa de crescimento do diâmetro, ou seja,
Passo 2
Escrevemos a fórmula do volume de uma esfera. Esta é a relação entre volume e raio:
Aqui
é o volume em
e
é o raio em
. Essa fórmula é padrão: volume de esfera = quatro terços de pi vezes o raio ao cubo.
Passo 3
Vamos diferenciar a expressão do volume em relação ao tempo
. Como
e
dependem do tempo, usamos a regra da cadeia:
Explicando passo a passo: derivamos
como
(essa é a regra da cadeia: derivada de
é
), e o
fica multiplicando.
Passo 4
Relação entre diâmetro
e raio
:
Diferenciando em relação ao tempo:
Logo, se acharmos
, obtemos
multiplicando por
.
Passo 5
Calculamos o raio no instante dado. O enunciado diz que o diâmetro é
, então
Passo 6
Isolamos
na fórmula obtida em
Passo 7
Substituímos
e
. Calculamos
e
Portanto
Passo 8
Agora obtemos
usando
:
Para ter uma noção numérica, aproximando
,
ou seja, aproximadamente
. Isso significa que quando o diâmetro mede
, ele está crescendo a cerca de
por minuto.