(Taxas relacionadas - 2,5 pontos) Um balão esférico está sendo inflado de tal forma uma taxa de 2,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, Qual a taxa de crecimento do diâmetro quando ele mede 9 m ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
Dado: a taxa de variação do volume é \dfrac{dV}{dt}=2,5\,\text{m}^3/\text{min}.
Dado: o diâmetro no instante considerado é 9\,\text{m}.
Pergunta: qual é a taxa de crescimento do diâmetro, ou seja, \dfrac{dD}{dt}, naquele instante?

Passo 2

Escrevemos a fórmula do volume de uma esfera. Esta é a relação entre volume e raio:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}
Aqui V é o volume em \text{m}^3 e r é o raio em \text{m}. Essa fórmula é padrão: volume de esfera = quatro terços de pi vezes o raio ao cubo.

Passo 3

Vamos diferenciar a expressão do volume em relação ao tempo t. Como V e r dependem do tempo, usamos a regra da cadeia:
\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right)=\frac{4}{3}\pi\cdot 3r^{2}\frac{dr}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}.
Explicando passo a passo: derivamos r^{3} como 3r^{2}\frac{dr}{dt} (essa é a regra da cadeia: derivada de r^{3}(t) é 3r^{2}(t)\cdot r'(t)), e o \frac{4}{3}\pi fica multiplicando.

Passo 4

Relação entre diâmetro D e raio r:
D=2r.
Diferenciando em relação ao tempo:
\frac{dD}{dt}=2\frac{dr}{dt}.
Logo, se acharmos \dfrac{dr}{dt}, obtemos \dfrac{dD}{dt} multiplicando por 2.

Passo 5

Calculamos o raio no instante dado. O enunciado diz que o diâmetro é 9\,\text{m}, então
r=\frac{D}{2}=\frac{9}{2}=4,5\,\text{m}.

Passo 6

Isolamos \dfrac{dr}{dt} na fórmula obtida em

Passo 7

\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^{2}}\frac{dV}{dt}.
Substituímos \dfrac{dV}{dt}=2,5\,\text{m}^3/\text{min} e r=4,5\,\text{m}. Calculamos r^{2}=(4,5)^2=20,25 e
4\pi r^{2}=4\pi\cdot 20,25=81\pi.
Portanto
\frac{dr}{dt}=\frac{2,5}{81\pi}\\ \text{m/min}.

Passo 8

Agora obtemos \dfrac{dD}{dt} usando \dfrac{dD}{dt}=2\dfrac{dr}{dt}:
\frac{dD}{dt}=2\cdot\frac{2,5}{81\pi}=\frac{5}{81\pi}\\ \text{m/min}.
Para ter uma noção numérica, aproximando \pi\approx 3,14159,
\frac{5}{81\pi}\approx 0,0196\\ \text{m/min},
ou seja, aproximadamente 1,96\\ \text{cm/min}. Isso significa que quando o diâmetro mede 9\,\text{m}, ele está crescendo a cerca de 0,0196\,\text{m} por minuto.

Resposta

\dfrac{5}{81\pi}\,\text{m/min}\approx 0,0196\,\text{m/min}

Exercícios relacionados