Taylor de \sin x em x_{0}=\frac{\pi}{4} : apresente a expansão até ordem \left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{4}.

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor de \sin x em torno de x_{0}=\dfrac{\pi}{4} até a ordem \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^{4}.
Informações dadas:
\;f(x)=\sin x.
\;a=\dfrac{\pi}{4} (o ponto em que vamos desenvolver).
Queremos o polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de a, ou seja os termos até \left(x-a\right)^{4}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem n centrado em a. A fórmula é
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^{k}.
Aqui f^{(k)}(a) significa a k-ésima derivada de f avaliada em x=a, e k! é o fatorial de k (por exemplo 3!=6, 4!=24). Para construir T_{4}(x) precisamos das derivadas de ordem 0 a 4 avaliadas em a=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Calculemos as derivadas de f(x)=\sin x e seus valores em a=\dfrac{\pi}{4}.
\begin{aligned} f(x)&=\sin x,\\\ f'(x)&=\cos x,\\\ f''(x)&=-\sin x,\\\ f^{(3)}(x)&=-\cos x,\\\ f^{(4)}(x)&=\sin x. \end{aligned}
Agora avalie em a=\dfrac{\pi}{4}. Lembrando que \sin\!\dfrac{\pi}{4}=\cos\!\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
\begin{aligned} f(a)&=\sin\!\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\\ f'(a)&=\cos\!\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\\ f''(a)&=-\sin\!\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\\ f^{(3)}(a)&=-\cos\!\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\\ f^{(4)}(a)&=\sin\!\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}

Passo 4

Agora montamos os termos do polinômio de Taylor usando a fórmula e os valores das derivadas. Escrevo termo a termo:
\begin{aligned} \text{termo }k=0 &: \frac{f(a)}{0!}(x-a)^{0}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\[6pt] \text{termo }k=1 &: \frac{f'(a)}{1!}(x-a)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(x-a),\\[6pt] \text{termo }k=2 &: \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}=\frac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}(x-a)^{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}(x-a)^{2},\\[6pt] \text{termo }k=3 &: \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^{3}=\frac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{6}(x-a)^{3}=-\dfrac{\sqrt{2}}{12}(x-a)^{3},\\[6pt] \text{termo }k=4 &: \frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^{4}=\frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{24}(x-a)^{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{48}(x-a)^{4}. \end{aligned}]

Passo 5

Somando todos os termos obtemos o polinômio de Taylor de ordem 4:
T_{4}(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-a)-\dfrac{\sqrt{2}}{4}(x-a)^{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{12}(x-a)^{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{48}(x-a)^{4},
onde a=\dfrac{\pi}{4}. Se quiser, podemos fatorar \dfrac{\sqrt{2}}{2} para ver os coeficientes mais claramente:
T_{4}(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigg[1+(x-a)-\dfrac{1}{2}(x-a)^{2}-\dfrac{1}{6}(x-a)^{3}+\dfrac{1}{24}(x-a)^{4}\Bigg].

Passo 6

Comentário prático para a prova (dica amiga): a derivação de \sin x forma um ciclo de quatro funções \sin,\cos,-\sin,-\cos, então os valores em um ponto a repetem-se a cada quatro derivadas — por isso só precisamos calcular até a ordem 4. Outra forma rápida (útil em algumas provas) é usar a identidade
\sin(a+h)=\sin a\cos h+\cos a\sin h
com h=x-a e expandir \cos h e \sin h por suas séries centradas em 0; ao multiplicar por \sin a e \cos a chega-se ao mesmo polinômio. Isso confirma que o procedimento de derivadas dá o mesmo resultado.

Resposta

\boxed{\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{12}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{48}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^{4}\,}

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