Taylor de
em
: apresente a expansão até ordem
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão de Taylor de
em torno de
até a ordem
.
Informações dadas:
.
(o ponto em que vamos desenvolver).
Queremos o polinômio de Taylor de ordem em torno de
, ou seja os termos até
.
Informações dadas:
Queremos o polinômio de Taylor de ordem
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem
centrado em
. A fórmula é
Aqui
significa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
(por exemplo
,
). Para construir
precisamos das derivadas de ordem
a
avaliadas em
.
Passo 3
Calculemos as derivadas de
e seus valores em
.
Agora avalie em
. Lembrando que
, obtemos
Passo 4
Agora montamos os termos do polinômio de Taylor usando a fórmula e os valores das derivadas. Escrevo termo a termo:
Passo 5
Somando todos os termos obtemos o polinômio de Taylor de ordem
:
onde
. Se quiser, podemos fatorar
para ver os coeficientes mais claramente:
Passo 6
Comentário prático para a prova (dica amiga): a derivação de
forma um ciclo de quatro funções
, então os valores em um ponto
repetem-se a cada quatro derivadas — por isso só precisamos calcular até a ordem
. Outra forma rápida (útil em algumas provas) é usar a identidade
com
e expandir
e
por suas séries centradas em
; ao multiplicar por
e
chega-se ao mesmo polinômio. Isso confirma que o procedimento de derivadas dá o mesmo resultado.