Maclaurin de \arctan x : apresente a série até x^{7} e indique o intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: apresentar a série de Maclaurin de \arctan x até o termo em x^{7} e indicar o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas: a função considerada é \arctan x. Queremos a expansão centrada em 0 (Maclaurin) até ordem 7 e o intervalo (ou raio) de convergência da série de potências resultante.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta útil que facilita muito aqui: a série geométrica. A fórmula é
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}\qquad\text{para }|u|<1.
Se escolhermos u=-t^{2} obtemos uma expansão para \dfrac{1}{1+t^{2}}. Substituindo,
\frac{1}{1+t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}\qquad\text{para }|t|<1.
Aqui cada termo é (-1)^{n}t^{2n}. Essa série é válida enquanto |t|<1 porque foi derivada da série geométrica com u=-t^2.

Passo 3

Agora usamos a relação entre \arctan x e \dfrac{1}{1+t^{2}}. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Integrando ambos os lados de 0 até x (e lembrando que \arctan 0=0) temos
\arctan x=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Como dentro do intervalo |t|<1 podemos integrar termo a termo a série encontrada, substituímos a expansão e integramos termo a termo:
\arctan x=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt.
Calculando a integral \int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}, obtemos a série geral
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\qquad\text{para }|x|<1.

Passo 4

Agora escrevemos explicitamente os termos até x^{7}. Tomando n=0,1,2,3 na fórmula
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},
obtemos:
  • n=0:\; \dfrac{x^{1}}{1}=x,
  • n=1:\; -\dfrac{x^{3}}{3},
  • n=2:\; \dfrac{x^{5}}{5},
  • n=3:\; -\dfrac{x^{7}}{7}.
Portanto a série de Maclaurin até x^{7} é
\arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \cdots.
(O resto são termos de ordem x^{9} em diante.)

Passo 5

Precisamos indicar o intervalo de convergência. Use o teste da razão sobre o termo geral a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}. Calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =|x|^{2}\cdot\frac{2n+1}{2n+3}\xrightarrow[n\to\infty]{}|x|^{2}.
Pelo teste da razão a série converge se |x|^{2}<1, isto é, se |x|<1. Logo o raio de convergência é 1.
Faltam os extremos x=1 e x=-1:
  • Para x=1 a série torna-se \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}, que é a série alternada dos termos \dfrac{1}{2n+1} monótonamente decrescentes a zero; pelo critério de Leibniz converge (o valor é \pi/4). A convergência é condicional (não absoluta), pois \sum \dfrac{1}{2n+1} diverge.
  • Para x=-1 obtemos \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}, que também converge (para -\pi/4) pela mesma razão, e novamente de forma condicional.
Portanto a série converge para |x|<1 e também nos pontos x=\pm1. O intervalo de convergência é [-1,1].

Resposta

\arctan x = x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{5}}{5} - \dfrac{x^{7}}{7} + \cdots
Intervalo de convergência: [-1,1]

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