Maclaurin de \arctan x : apresente a série até x^{7} e indique o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: apresentar a série de Maclaurin de \arctan x até o termo em x^{7} e indicar o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas: a função considerada é \arctan x. Queremos a expansão centrada em 0 (Maclaurin) até ordem 7 e o intervalo (ou raio) de convergência da série de potências resultante.
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta útil que facilita muito aqui: a série geométrica. A fórmula é
Pelo teste da razão a série converge se |x|^{2}<1, isto é, se |x|<1. Logo o raio de convergência é 1.
Faltam os extremos x=1 e x=-1:
Para x=1 a série torna-se \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}, que é a série alternada dos termos \dfrac{1}{2n+1} monótonamente decrescentes a zero; pelo critério de Leibniz converge (o valor é \pi/4). A convergência é condicional (não absoluta), pois \sum \dfrac{1}{2n+1} diverge.
Para x=-1 obtemos \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}, que também converge (para -\pi/4) pela mesma razão, e novamente de forma condicional.
Portanto a série converge para |x|<1 e também nos pontos x=\pm1. O intervalo de convergência é [-1,1].
Resposta
\arctan x = x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{5}}{5} - \dfrac{x^{7}}{7} + \cdots
Intervalo de convergência: [-1,1]