Maclaurin de e^{x} \cos x : escreva os termos até ordem x^{6}.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de e^{x}\cos x e pede que eu escreva os termos até ordem x^{6}.
Informações dadas: a função é f(x)=e^{x}\cos x e o objetivo é obter os termos da expansão em potência de x centrada em 0 (Maclaurin), inclusive o termo em x^{6} (se houver).

Passo 2

O que é uma série de Maclaurin (aula rápida e sem medo): é a expansão em potências de x ao redor de 0. Para funções que têm séries conhecidas, a ideia prática na prova é pegar as séries de cada fator e multiplicá-las, mantendo só os poderes até o que a questão pede. Aqui vamos usar as séries padrões de e^{x} e \cos x e multiplicar termo a termo.

Passo 3

As séries conhecidas (vou escrever até os termos necessários para chegar em x^{6}):
e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120} + \frac{x^{6}}{720} + \cdots
\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} + \cdots
Expliquei: em e^{x} o coeficiente de x^{n} é \dfrac{1}{n!}. Em \cos x só aparecem potências pares x^{2k} com sinal alternado (-1)^{k}/(2k)!.

Passo 4

Como multiplicar séries (regra prática): se
e^{x}=\sum_{n\ge0} a_{n}x^{n},\qquad \cos x=\sum_{n\ge0} b_{n}x^{n},
então o coeficiente c_{m} de x^{m} em e^{x}\cos x é dado pela soma
c_{m}=\sum_{k=0}^{m} a_{k} b_{m-k}.
Isso é a chamada regra do produto (produto de Cauchy). Vou aplicar isso computando coeficiente a coeficiente para m=0,1,\dots,6. Como \cos x tem coeficientes nulos para ordens ímpares, muitas somas ficam mais curtas.

Passo 5

Coeficiente do termo constante ( x^{0}): só vem de 1\cdot 1.
c_{0} = 1\cdot 1 = 1.

Passo 6

Coeficiente de x^{1}: as únicas contribuições possíveis são de (x\text{ em }e^{x})\cdot(1\text{ em }\cos x) ou 1\cdot(\text{coeficiente de }x\text{ em }\cos x). Mas \cos x não tem termo em x, então
c_{1} = 1\cdot 1 = 1.
Em termos: 1\cdot x dá coeficiente 1.

Passo 7

Coeficiente de x^{2}: combinações possíveis
  • (\text{coef. }x^{2}\text{ em }e^{x})\cdot(\text{constante em }\cos x) = \dfrac{1}{2}\cdot 1 = \dfrac{1}{2}.
  • (\text{constante em }e^{x})\cdot(\text{coef. }x^{2}\text{ em }\cos x) = 1\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}.
Somando:
c_{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.
Então não aparece termo em x^{2}.

Passo 8

Coeficiente de x^{3}: somamos as contribuições com índices que somam 3.
Possíveis pares (k,m-k):
  • k=3: a_{3}b_{0} = \dfrac{1}{6}\cdot 1 = \dfrac{1}{6}.
  • k=1: a_{1}b_{2} = 1\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}.
    Outros k dão zero porque \cos x não tem termos ímpares.
Somando:
c_{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}.

Passo 9

Coeficiente de x^{4}: pares que somam 4:
  • k=4: a_{4}b_{0} = \dfrac{1}{24}\cdot 1 = \dfrac{1}{24}.
  • k=2: a_{2}b_{2} = \dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{4}.
  • k=0: a_{0}b_{4} = 1\cdot \dfrac{1}{24} = \dfrac{1}{24}.
Somando:
c_{4} = \frac{1}{24} - \frac{1}{4} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} - \frac{6}{24} = -\frac{4}{24} = -\frac{1}{6}.

Passo 10

Coeficiente de x^{5}: pares que somam 5 (note que \cos x não tem termo em x^{1} nem x^{3}, então só algumas combinações aparecem):
  • k=5: a_{5}b_{0} = \dfrac{1}{120}\cdot 1 = \dfrac{1}{120}.
  • k=3: a_{3}b_{2} = \dfrac{1}{6}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{12}.
  • k=1: a_{1}b_{4} = 1\cdot \dfrac{1}{24} = \dfrac{1}{24}.
Somando — passo a passo com denominador comum 120:
c_{5} = \frac{1}{120} - \frac{10}{120} + \frac{5}{120} = -\frac{4}{120} = -\frac{1}{30}.

Passo 11

Coeficiente de x^{6}: pares que somam 6:
  • k=6: a_{6}b_{0} = \dfrac{1}{720}\cdot 1 = \dfrac{1}{720}.
  • k=4: a_{4}b_{2} = \dfrac{1}{24}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{48}.
  • k=2: a_{2}b_{4} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{24} = \dfrac{1}{48}.
  • k=0: a_{0}b_{6} = 1\cdot\left(-\dfrac{1}{720}\right) = -\dfrac{1}{720}.
Agora somando:
c_{6} = \frac{1}{720} - \frac{1}{48} + \frac{1}{48} - \frac{1}{720} = 0.
Portanto o coeficiente de x^{6} é 0 — esses termos se cancelam.

Passo 12

Agora juntei todos os coeficientes obtidos para escrever a expansão até ordem x^{6}. Os coeficientes que encontramos:
c_{0}=1,\quad c_{1}=1,\quad c_{2}=0,\quad c_{3}=-\tfrac{1}{3},\quad c_{4}=-\tfrac{1}{6},\quad c_{5}=-\tfrac{1}{30},\quad c_{6}=0.
Portanto a série truncada é montada com esses coeficientes.

Resposta

e^{x}\cos x = 1 + x - \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{6}x^{4} - \frac{1}{30}x^{5} + 0\cdot x^{6}

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