Maclaurin de
: escreva os termos até ordem
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
e pede que eu escreva os termos até ordem
.
Informações dadas: a função é e o objetivo é obter os termos da expansão em potência de
centrada em
(Maclaurin), inclusive o termo em
(se houver).
Informações dadas: a função é
Passo 2
O que é uma série de Maclaurin (aula rápida e sem medo): é a expansão em potências de
ao redor de
. Para funções que têm séries conhecidas, a ideia prática na prova é pegar as séries de cada fator e multiplicá-las, mantendo só os poderes até o que a questão pede. Aqui vamos usar as séries padrões de
e
e multiplicar termo a termo.
Passo 3
As séries conhecidas (vou escrever até os termos necessários para chegar em
):
Expliquei: em
o coeficiente de
é
. Em
só aparecem potências pares
com sinal alternado
.
Passo 4
Como multiplicar séries (regra prática): se
então o coeficiente
de
em
é dado pela soma
Isso é a chamada regra do produto (produto de Cauchy). Vou aplicar isso computando coeficiente a coeficiente para
. Como
tem coeficientes nulos para ordens ímpares, muitas somas ficam mais curtas.
Passo 5
Coeficiente do termo constante (
): só vem de
.
Passo 6
Coeficiente de
: as únicas contribuições possíveis são de
ou
. Mas
não tem termo em
, então
Em termos:
dá coeficiente
.
Passo 7
Coeficiente de
: combinações possíveis
-
. -
.
Somando:
Então não aparece termo em
.
Passo 8
Coeficiente de
: somamos as contribuições com índices que somam
.
Possíveis pares
:
-
: . -
: .
Outrosdão zero porque não tem termos ímpares.
Somando:
Passo 9
Coeficiente de
: pares que somam
:
-
: . -
: . -
: .
Somando:
Passo 10
Coeficiente de
: pares que somam
(note que
não tem termo em
nem
, então só algumas combinações aparecem):
-
: . -
: . -
: .
Somando — passo a passo com denominador comum
:
Passo 11
Coeficiente de
: pares que somam
:
-
: . -
: . -
: . -
: .
Agora somando:
Portanto o coeficiente de
é
— esses termos se cancelam.
Passo 12
Agora juntei todos os coeficientes obtidos para escrever a expansão até ordem
. Os coeficientes que encontramos:
Portanto a série truncada é montada com esses coeficientes.