Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos
Dada a função
a) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
b) determine os intervalos de crescimento;
c) determine os intervalos de decrescimento;
d) indique o comportamento da concavidade;
e) faça um esboço do gráfico de f.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa analisar várias coisas sobre ela, como onde ela tem máximos e mínimos, onde está crescendo ou decrescendo, sua concavidade e até desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções. Vamos precisar entender como derivar funções definidas por partes e aplicar testes de derivadas para descobrir esses comportamentos.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a função que temos:
f(x)=l x^2+2 se x<0 2-x^2 se 0 <= x
Vamos precisar derivar cada parte dessa função para achar os extremos relativos usando o teste da derivada primeira.
Passo 3
Vamos derivar cada trecho da função:
Para f(x) = x^2 + 2 f'(x) = 2x :
f(x) = 2 - x^2 f'(x) = -2x
Para f(x) = x - raiz2 f'(x) = 1 :
Para :
Passo 4
Agora, vamos achar onde a derivada é zero ou não existe, pois esses pontos são candidatos a extremos relativos.
Para f'(x) = 2x = 0 Rightarrow x = 0 :
f'(x) = -2x = 0 Rightarrow x = 0
Mas f'(x) = 1 não está nesse intervalo, então sem extremo aqui.
Para :
Aqui, está no intervalo. Vamos verificar se é máximo ou mínimo.
Para :
A derivada nunca é zero, então sem extremos nesse intervalo.
Passo 5
Vamos usar o teste da derivada primeira para :
Para logo à esquerda de 0 (), é negativo (porque x é negativo).
Para logo à direita de 0 (), é negativo (porque x é positivo e há um sinal negativo).
Como a derivada não muda de sinal em (fica negativa dos dois lados), não é nem máximo nem mínimo relativo.
Passo 6
Concluímos que a função não possui extremos relativos.