Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos
Dada a função
f(x)=l x^2+2 se x<0 2-x^2 se 0 <= x
a) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
b) determine os intervalos de crescimento;
c) determine os intervalos de decrescimento;
d) indique o comportamento da concavidade;
e) faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa analisar várias coisas sobre ela, como onde ela tem máximos e mínimos, onde está crescendo ou decrescendo, sua concavidade e até desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções. Vamos precisar entender como derivar funções definidas por partes e aplicar testes de derivadas para descobrir esses comportamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a função que temos:
f(x)=l x^2+2 se x<0 2-x^2 se 0 <= x
Vamos precisar derivar cada parte dessa função para achar os extremos relativos usando o teste da derivada primeira.

Passo 3

Vamos derivar cada trecho da função:
  1. Para f(x) = x^2 + 2 f'(x) = 2x :
f(x) = 2 - x^2 f'(x) = -2x
  1. Para f(x) = x - raiz2 f'(x) = 1 :
  1. Para :

Passo 4

Agora, vamos achar onde a derivada é zero ou não existe, pois esses pontos são candidatos a extremos relativos.
  1. Para f'(x) = 2x = 0 Rightarrow x = 0 :
f'(x) = -2x = 0 Rightarrow x = 0
Mas f'(x) = 1 não está nesse intervalo, então sem extremo aqui.
  1. Para :
Aqui, está no intervalo. Vamos verificar se é máximo ou mínimo.
  1. Para :
A derivada nunca é zero, então sem extremos nesse intervalo.

Passo 5

Vamos usar o teste da derivada primeira para :
  • Para logo à esquerda de 0 ( ), é negativo (porque x é negativo).
  • Para logo à direita de 0 ( ), é negativo (porque x é positivo e há um sinal negativo).
Como a derivada não muda de sinal em (fica negativa dos dois lados), não é nem máximo nem mínimo relativo.

Passo 6

Concluímos que a função não possui extremos relativos.

Passo 7

Resposta

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