Um técnico de informática tem 50% de chance de resolver um problema em um computador se o defeito for no software, e 25 \% de chance de resolver se o defeito for no hardware. Sabe-se que 30% dos problemas são de software e 70% são de hardware. Sabendo que o técnico conseguiu resolver o problema, qual é a probabilidade de o defeito ser de software?

Passo 1

O enunciado pede: “Sabendo que o técnico conseguiu resolver o problema, qual é a probabilidade de o defeito ser de software?”\n
Informações fornecidas (vou nomear os eventos para ficar claro):\n
  • S = evento “o defeito é de software”. Temos \mathbb{P}(S)=0,30.\n
  • H = evento “o defeito é de hardware”. Temos \mathbb{P}(H)=0,70.\n
  • Probabilidade do técnico resolver dado software: \mathbb{P}(\text{resolve}\mid S)=0,50.\n
  • Probabilidade do técnico resolver dado hardware: \mathbb{P}(\text{resolve}\mid H)=0,25.\n
    O que queremos: \mathbb{P}\bigl(S\mid \text{resolve}\bigr), ou seja, a probabilidade de que o defeito seja de software sabendo que o técnico resolveu o problema.

Passo 2

Conceito que vamos usar — probabilidade condicional e Teorema de Bayes (explicado passo a passo):\n
  • A probabilidade condicional \mathbb{P}(A\mid B) é a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu. A definição é
\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.
Isso quer dizer: entre todos os casos em que B ocorre, qual fração tem também A.\n
  • O Teorema de Bayes permite inverter condicionais quando temos partição do espaço. Se S e H formam uma partição (ou seja, são mutuamente exclusivos e cobrem todos os casos), então
\mathbb{P}\bigl(S\mid \text{resolve}\bigr)=\frac{\mathbb{P}(\text{resolve}\mid S)\,\mathbb{P}(S)}{\mathbb{P}(\text{resolve})}.
Aqui \mathbb{P}(\text{resolve}) é a probabilidade total do técnico resolver, que se calcula somando a contribuição de cada tipo de defeito:
\mathbb{P}(\text{resolve})=\mathbb{P}(\text{resolve}\mid S)\,\mathbb{P}(S)+\mathbb{P}(\text{resolve}\mid H)\,\mathbb{P}(H).
Explicando as letras: \mathbb{P}(\text{resolve}\mid S) é a chance de resolver quando é software; \mathbb{P}(S) é a fração dos problemas que são software; e \mathbb{P}(\text{resolve}) normaliza para termos a probabilidade condicional desejada.

Passo 3

Agora aplicamos os números do enunciado na fórmula de Bayes. Substituindo,
\mathbb{P}\bigl(S\mid \text{resolve}\bigr) = \frac{\mathbb{P}(\text{resolve}\mid S)\,\mathbb{P}(S)} {\mathbb{P}(\text{resolve}\mid S)\,\mathbb{P}(S)+\mathbb{P}(\text{resolve}\mid H)\,\mathbb{P}(H)}.
Colocando os valores \mathbb{P}(\text{resolve}\mid S)=0,50, \mathbb{P}(S)=0,30, \mathbb{P}(\text{resolve}\mid H)=0,25 e \mathbb{P}(H)=0,70, obtemos
\mathbb{P}\bigl(S\mid \text{resolve}\bigr) = \frac{0,50\times 0,30}{0,50\times 0,30 + 0,25\times 0,70}.

Passo 4

Façamos as multiplicações e a soma no denominador passo a passo:\n
  • Numerador: 0,50\times 0,30 = 0,15.\n
  • Segundo termo do denominador: 0,25\times 0,70 = 0,175.\n
  • Denominador completo: 0,15 + 0,175 = 0,325.\n
    Portanto
\mathbb{P}\bigl(S\mid \text{resolve}\bigr)=\frac{0,15}{0,325}.

Passo 5

Simplificando a fração \dfrac{0,15}{0,325}: multiplicando numerador e denominador por 1000 (ou simplificando por fator comum),
\frac{0,15}{0,325}=\frac{150}{325}=\frac{6}{13}.
Em forma decimal isso dá aproximadamente 0,461538, ou seja cerca de 0,4615 (usar 4 casas decimais é suficiente em provas), que em porcentagem é aproximadamente 46,15\%.\n
Intuição rápida (chega fácil na prova): imagine 100 problemas: 30 são software e 70 hardware; o técnico resolve 30\times 0,50=15 problemas de software e 70\times 0,25=17,5 de hardware, total 32,5 resolvidos; a fração resolvida que é software é 15/32,5=6/13.

Passo 6

Resumo e incentivo: chegamos ao resultado com Bayes e uma conta simples. Vai dar certo na prova — faça a mesma substituição direto que é rápido e seguro!

Resposta

\dfrac{6}{13}\n
\approx 0,4615 ( \approx 46,15\%)

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