Uma bafança deve medir 500 g em média. A variância populacional do erro é
. Uma amostra de
pesagens apresentou média
. Teste, com
, se a balança está descalibrada.
Passo 1
O enunciado pede que testemos, com nível de significância
, se a balança está descalibrada (ou seja, se o peso médio que ela indica difere de
g). Informações fornecidas:
- Variância populacional do erro:
. - Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Nível de significância:
.
A pergunta concreta é: com esses dados, há evidência suficiente (ao nível) para afirmar que a balança está descalibrada?
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicando o porquê). Como o enunciado fornece a variância populacional
conhecida, o método apropriado é um teste para a média com variância conhecida (teste z). Em termos simples: usamos a distribuição normal padrão para comparar a média amostral com o valor hipotético
g, escalando a diferença pelo erro padrão
. Esse método é o mais direto e é o que normalmente se usa em provas quando
é conhecida.
Passo 3
Formule as hipóteses e o tipo de teste.
- Hipótese nula (o que queremos verificar):
- Hipótese alternativa (a balança está descalibrada se a média for diferente):
Como
é “diferente”, o teste é bicaudal (two-sided).
Passo 4
Defina o estatístico de teste e explique suas partes. Usamos o estatístico z:
onde:
-
é a média amostral (aqui ), -
é o valor sob (aqui ), -
é o desvio padrão populacional (raiz de ), -
é o tamanho da amostra.
Intuição:mede em número de erros-padrão quão longe a média amostral está de .
Passo 5
Calcule o desvio padrão populacional e o erro padrão (passo-a-passo). Da variância dada:
O tamanho da amostra é
, então
O erro padrão da média é
Passo 6
Calcule a diferença entre média amostral e hipótese e o valor de
. A diferença é
Então
Interpretação numérica: a média observada está
erros-padrão abaixo do valor hipotético
.
Passo 7
Determine a região crítica para
no teste bicaudal. Para nível
em teste bicaudal, cada cauda tem
. O quantil correspondente da normal padrão é
Assim, a região de rejeição é
.
Passo 8
Compare o estatístico com a região crítica e calcule o p-valor. Temos
que é menor que
, portanto não caímos na região de rejeição ao nível
.
Calculando o p-valor (para reforçar): . Usando a tabela da normal padrão,
. Logo
Calculando o p-valor (para reforçar):
Como
, a conclusão é a mesma: não rejeitamos
.
Passo 9
Interpretação final e comentário motivador. Conclusão prática: com os dados e nível de significância pedido, não há evidência suficiente para dizer que a balança está descalibrada. Observação útil para a prova: embora ao nível de
não rejeitemos
, o p-valor
é menor que
, então ao nível de
talvez se rejeitasse — isso mostra como o resultado depende do nível de confiança escolhido. Força aí nos estudos, esse tipo de raciocínio (escolher teste, calcular estatístico, comparar com crítico e checar p-valor) é exatamente o que costumam pedir na prova.
Resposta
Não rejeitamos
; com
não há evidência suficiente para afirmar que a balança está descalibrada.