Uma bafança deve medir 500 g em média. A variância populacional do erro é \sigma^{2}=9 \mathrm{~g}^{2}. Uma amostra de n=16 pesagens apresentou média \bar{x}=498,2 \mathrm{~g}. Teste, com a=0,01, se a balança está descalibrada.

Passo 1

O enunciado pede que testemos, com nível de significância \alpha=0,01, se a balança está descalibrada (ou seja, se o peso médio que ela indica difere de 500 g). Informações fornecidas:
  • Variância populacional do erro: \sigma^{2}=9\\ \mathrm{g}^{2}.
  • Tamanho da amostra: n=16.
  • Média amostral: \bar{x}=498,2\\ \mathrm{g}.
  • Nível de significância: \alpha=0,01.
    A pergunta concreta é: com esses dados, há evidência suficiente (ao nível \alpha=0,01) para afirmar que a balança está descalibrada?

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicando o porquê). Como o enunciado fornece a variância populacional \sigma^{2} conhecida, o método apropriado é um teste para a média com variância conhecida (teste z). Em termos simples: usamos a distribuição normal padrão para comparar a média amostral com o valor hipotético 500 g, escalando a diferença pelo erro padrão \sigma/\sqrt{n}. Esse método é o mais direto e é o que normalmente se usa em provas quando \sigma é conhecida.

Passo 3

Formule as hipóteses e o tipo de teste.
  • Hipótese nula (o que queremos verificar): H_0:\mu=500
  • Hipótese alternativa (a balança está descalibrada se a média for diferente): H_1:\mu\neq 500
Como H_1 é “diferente”, o teste é bicaudal (two-sided).

Passo 4

Defina o estatístico de teste e explique suas partes. Usamos o estatístico z:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (aqui \bar{x}=498,2),
  • \mu_0 é o valor sob H_0 (aqui 500),
  • \sigma é o desvio padrão populacional (raiz de \sigma^{2}),
  • n é o tamanho da amostra.
    Intuição: Z mede em número de erros-padrão quão longe a média amostral está de 500.

Passo 5

Calcule o desvio padrão populacional e o erro padrão (passo-a-passo). Da variância dada:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{9}=3\\ \mathrm{g}.
O tamanho da amostra é n=16, então
\sqrt{n}=\sqrt{16}=4.
O erro padrão da média é
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3}{4}=0,75\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Calcule a diferença entre média amostral e hipótese e o valor de Z. A diferença é
\bar{x}-\mu_0=498,2-500=-1,8\\ \mathrm{g}.
Então
Z=\frac{-1,8}{0,75}=-2,4.
Interpretação numérica: a média observada está 2,4 erros-padrão abaixo do valor hipotético 500.

Passo 7

Determine a região crítica para \alpha=0,01 no teste bicaudal. Para nível \alpha=0,01 em teste bicaudal, cada cauda tem \alpha/2=0,005. O quantil correspondente da normal padrão é
z_{1-\alpha/2}=z_{0,995}\approx 2,5758.
Assim, a região de rejeição é |Z|>2,5758.

Passo 8

Compare o estatístico com a região crítica e calcule o p-valor. Temos |Z|=2,4 que é menor que 2,5758, portanto não caímos na região de rejeição ao nível \alpha=0,01.
Calculando o p-valor (para reforçar): p\text{-value}=2\Pr(Z\le -2,4). Usando a tabela da normal padrão, \Pr(Z\le -2,4)\approx 0,00820. Logo
p\text{-value}\approx 2\cdot 0,00820=0,0164.
Como p\text{-value}=0,0164>\alpha=0,01, a conclusão é a mesma: não rejeitamos H_0.

Passo 9

Interpretação final e comentário motivador. Conclusão prática: com os dados e nível de significância pedido, não há evidência suficiente para dizer que a balança está descalibrada. Observação útil para a prova: embora ao nível de 1\% não rejeitemos H_0, o p-valor 0,0164 é menor que 0,05, então ao nível de 5\% talvez se rejeitasse — isso mostra como o resultado depende do nível de confiança escolhido. Força aí nos estudos, esse tipo de raciocínio (escolher teste, calcular estatístico, comparar com crítico e checar p-valor) é exatamente o que costumam pedir na prova.

Resposta

Não rejeitamos H_0; com \alpha=0,01 não há evidência suficiente para afirmar que a balança está descalibrada.

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