O diämetro de parasusos segue distribuição normal com \sigma=0,2 \mathrm{~mm} conhecida. Um late deve ter media 5 mm . Para verificar conformidade, coleton-se n=25 parafusos e encontrou-se \bar{\pi}=4,94 \mathrm{~mm}. Teste, ao nível de \alpha=0,01, se o lote está fora da especificação.

Passo 1

O enunciado pede para testar se um lote de parafusos está fora da especificação em relação à média desejada. Dados fornecidos:
\sigma = 0,2\\ \text{mm (desvio padrão conhecido)},\qquad n=25,\qquad \bar{x}=4,94\\ \text{mm},\qquad \alpha=0,01.ã
A pergunta é: com nível de significância \alpha=0,01, há evidência de que a média do lote difere de 5\\ \text{mm}? (ou seja, o lote está fora da especificação de média 5\\ \text{mm}.)

Passo 2

Definimos as hipóteses do teste (pois queremos saber se a média é diferente de 5\\ \text{mm}, isto é um teste bilateral):
H_0:\\ \mu = 5
H_1:\\ \mu \neq 5
Explicação didática: H_0 é a hipótese de que o lote está conforme (média exatamente 5), e H_1 é a hipótese alternativa de que a média é diferente de 5 (para mais ou para menos). Como “fora da especificação” significa diferente, usamos um teste bilateral.

Passo 3

Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e a amostra é razoavelmente grande (ou a população é normal), usamos o teste-z. A estatística de teste é
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
onde:
\bar{X} é a média amostral,
\mu_0 é o valor da média sob H_0,
\sigma é o desvio padrão populacional conhecido,
n é o tamanho da amostra.
Essa fórmula mede quantos desvios-padrão (da média amostral) a média observada está deslocada de \mu_0.

Passo 4

Calculemos o erro-padrão (denominador da estatística):
\sqrt{n}=\sqrt{25}=5,
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,2}{5}=0,04\\ \text{mm}.
Explicação: o erro-padrão da média diminui com \sqrt{n}; aqui como n é 25, dividimos \sigma por 5.

Passo 5

Calculemos a estatística Z:
\bar{X}-\mu_0 = 4,94-5 = -0,06,
Z=\frac{-0,06}{0,04}=-1,5.
Detalhe das contas: -0,06 dividido por 0,04 -1,5.

Passo 6

Determinar a região crítica para nível \alpha=0,01 em teste bilateral. As fronteiras críticas são os quantis de cauda \alpha/2=0,005 da distribuição normal padrão:
z_{1-\alpha/2}=z_{0,995}\approx 2,5758.
Portanto a região de rejeição é
\{Z\colon Z<-2,5758\}\\ \cup\\ \{Z\colon Z>2,5758\}.
Explicação: para teste bilateral cortamos \alpha/2 em cada cauda da normal padrão.

Passo 7

Compare o valor observado com a região crítica:
|Z|=| -1,5|=1,5<2,5758.
Como |Z| é menor que 2,5758, não caímos na região de rejeição. Logo, pelo critério da região crítica, não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,01.

Passo 8

Cálculo do p-valor (opcional mas esclarecedor):
p\text{-valor}=2\Pr(Z\le -1,5)=2\Phi(-1,5),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando valor tabelado,
\Phi(-1,5)\approx 0,0668072,
p\text{-valor}\approx 2\times 0,0668072 \approx 0,1336.
Interpretação: p\text{-valor}\approx 0,1336 é maior que \alpha=0,01, o que confirma que não há evidência suficiente para rejeitar H_0.

Passo 9

Conclusão em contexto (explicando de forma clara e amigável): a média amostral 4,94\\ \text{mm} está a 1,5 erros-padrão de 5\\ \text{mm}, o que não é discrepância suficiente para concluir, com 1\% de significância, que a média do lote difere de 5\\ \text{mm}. Em outras palavras, com os dados disponíveis, não há evidência estatística, ao nível \alpha=0,01, de que o lote esteja fora da especificação.

Resposta

Não rejeita H_0. Não há evidência, ao nível \alpha=0,01, de que a média do lote difira de 5\\ \text{mm} (estatística Z=-1,5, p\text{-valor}\approx 0,1336).

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