1. Uma barra cilíndrica de alumínio (coeficiente de dilatação linear \alpha=2,3 \times 10^{-50} \mathrm{C}^{-1} ) possui comprimento \mathrm{L}_{0}=2,000 \mathrm{~m} \quad \mathrm{e} raio \mathrm{R}_{0}=5,00 \mathrm{~cm} a 20,0^{\circ} \mathrm{C}.
    A barra é aquecida por uma fonte de potência constante P=500 \mathrm{WP}=500 \mathrm{~W}, que transfere calor uniformemente por toda sua superficie lateral. Desprezando perdas, determine:
    a) A expressão literal e o valor numérico da dilatação superficial de uma seção transversal da barra quando sua temperatura atinge 120^{\circ} \mathrm{C}.
    b) O tempo necessário para que a barra atinja essa temperatura, sabendo que seu calor específico é c=900 J/(kg.K) e sua densidade a 20^{\circ} \mathrm{C} é \rho=2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} Considere que a massa e o calor específico variam desprezivelmente com a temperatura.

Passo 1

O enunciado fornece (peguei todos os valores do enunciado):
  • coeficiente de dilatação linear: \alpha=2{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}} (interpreto o expoente como -5, valor típico do alumínio);
  • comprimento inicial: L_{0}=2{,}000\\ \mathrm{m} (interpreto a vírgula como separador decimal, portanto L_{0}=2{,}000\\ \mathrm{m}=2{,}00\\ \mathrm{m});
  • raio inicial da seção transversal: R_{0}=5{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0500\\ \mathrm{m};
  • temperatura inicial: T_{i}=20{,}0^\circ\mathrm{C};
  • temperatura final procurada: T_{f}=120{,}0^\circ\mathrm{C};
  • potência da fonte (energia fornecida por unidade de tempo): P=500\\ \mathrm{W};
  • calor específico: c=900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)};
  • densidade a 20{,}0^\circ\mathrm{C}: \rho=2700\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O enunciado pede:
a) a expressão literal e o valor numérico da dilatação superficial (variação da área) de uma seção transversal da barra quando a temperatura chega a 120{,}0^\circ\mathrm{C};
b) o tempo necessário para que a barra atinja essa temperatura, assumindo massa e c praticamente constantes e desprezando perdas.

Passo 2

Entendendo a dilatação superficial (aula curta e prática).
  • Quando um corpo sofre dilatação térmica linear com coeficiente \alpha, um comprimento linear l_{0} passa a valer, após aumento de temperatura \Delta T,
l = l_{0}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr).
Aqui \Delta T = T_{f}-T_{i}.
  • Para uma seção circular de raio R_{0}, o novo raio é
R = R_{0}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr).
  • A área da seção é A=\pi R^{2}. Substituindo:
A=\pi R_{0}^{2}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr)^{2}.
  • Expandindo e desprezando termos de ordem \alpha^{2} (porque \alpha\,\Delta T é pequeno), obtemos a relação usual entre coeficientes:
A \approx A_{0}\bigl(1+2\alpha\,\Delta T\bigr),
onde A_{0}=\pi R_{0}^{2} é a área inicial.
  • A dilatação superficial absoluta (variação da área) é, então,
\Delta A \equiv A-A_{0}\approx A_{0}\cdot 2\alpha\,\Delta T.
(Explicação: a área cresce aproximadamente com o dobro do coeficiente linear porque tanto o raio na direção x quanto na direção y aumentam.)

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao problema (cálculos passo a passo).
  • Primeiro calcule \Delta T:
\Delta T = T_{f}-T_{i}=120{,}0-20{,}0=100{,}0\\ \mathrm{^\circ C}.
  • Calcule a área inicial da seção circular:
A_{0}=\pi R_{0}^{2}=\pi\bigl(0{,}0500\bigr)^{2}=\pi\cdot0{,}002500 = 0{,}0078539816\\ \mathrm{m^{2}}.
( aqui usei \pi\approx3{,}14159265; mantive mais casas para precisão nas contas.)
  • Coeficiente de dilatação superficial aproximado:
\beta \approx 2\alpha = 2\cdot2{,}3\times10^{-5}=4{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.
  • Agora \Delta A pela fórmula:
\Delta A \approx A_{0}\cdot\beta\,\Delta T = A_{0}\cdot\bigl(2\alpha\,\Delta T\bigr).
Substituindo números:
\Delta A \approx 0{,}0078539816\cdot4{,}6\times10^{-5}\cdot100{,}0.
Calcule o fator numérico: 4{,}6\times10^{-5}\cdot100{,}0=4{,}6\times10^{-3}. Então
\Delta A \approx 0{,}0078539816\cdot4{,}6\times10^{-3}=3{,}6130\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando razoavelmente: \Delta A\approx3{,}61\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Também opcionalmente a área final:
A\approx A_{0}+\Delta A \approx 0{,}00785398+0{,}00003613\approx0{,}00789011\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Energia necessária e tempo (aula rápida sobre balanço de energia).
  • Para aumentar a temperatura de uma massa m em \Delta T, a energia térmica necessária (assumindo capacidade térmica constante) é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde c é o calor específico (J/(kg·K)) e m é a massa (kg).
  • A massa da barra vale
m=\rho V=\rho A_{0}L_{0},
pois o volume é área da seção vezes o comprimento.
  • Como a potência fornecida é P (energia por unidade de tempo) e desprezamos perdas, o tempo necessário é
t=\frac{Q}{P}=\frac{m c \Delta T}{P}=\frac{\rho A_{0}L_{0} c \Delta T}{P}.
Expliquei a fórmula inteira para que possa memorizá-la e aplicá-la rapidamente na prova.

Passo 5

Cálculo numérico do tempo (contas detalhadas).
  • Volume (passo intermediário já com A_{0} calculada):
V=A_{0}L_{0}=0{,}0078539816\cdot2{,}00=0{,}0157079632\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Massa:
m=\rho V=2700\cdot0{,}0157079632=42{,}41250064\\ \mathrm{kg}\approx42{,}41\\ \mathrm{kg}.
  • Energia necessária:
Q=m c \Delta T=42{,}41250064\cdot900\cdot100{,}0=3{,}817125064\times10^{6}\\ \mathrm{J}\approx3{,}817125\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
  • Tempo:
t=\frac{Q}{P}=\frac{3{,}817125\times10^{6}}{500}=7{,}634250128\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx7{,}63\times10^{3}\\ \mathrm{s}.
Converter para horas, minutos e segundos:
t\approx7634{,}25\\ \mathrm{s}=\frac{7634{,}25}{3600}\\ \mathrm{h}\approx2{,}12\\ \mathrm{h},
ou em horas/minutos/segundos:
2\\ \mathrm{h}\\\ 7\\ \mathrm{min}\\\ 14{,}25\\ \mathrm{s}\\ (\text{aprox.}).

Resposta

(a) \Delta A = A_{0}\cdot 2\alpha\,\Delta T \quad\Rightarrow\quad \Delta A \approx 3{,}61\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
(b) t=\dfrac{\rho A_{0}L_{0} c \Delta T}{P}\quad\Rightarrow\quad t\approx7{,}63\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx2{,}12\\ \mathrm{h}\approx2\\ \mathrm{h}\\\ 7\\ \mathrm{min}\\\ 14\\ \mathrm{s}.

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