- Uma barra cilíndrica de alumínio (coeficiente de dilatação linear
) possui comprimento
raio
a
.
A barra é aquecida por uma fonte de potência constante
, que transfere calor uniformemente por toda sua superficie lateral. Desprezando perdas, determine:
a) A expressão literal e o valor numérico da dilatação superficial de uma seção transversal da barra quando sua temperatura atinge
.
b) O tempo necessário para que a barra atinja essa temperatura, sabendo que seu calor específico é c=900 J/(kg.K) e sua densidade a
é
Considere que a massa e o calor específico variam desprezivelmente com a temperatura.
A barra é aquecida por uma fonte de potência constante
a) A expressão literal e o valor numérico da dilatação superficial de uma seção transversal da barra quando sua temperatura atinge
b) O tempo necessário para que a barra atinja essa temperatura, sabendo que seu calor específico é c=900 J/(kg.K) e sua densidade a
Passo 1
O enunciado fornece (peguei todos os valores do enunciado):
- coeficiente de dilatação linear:
(interpreto o expoente como , valor típico do alumínio); - comprimento inicial:
(interpreto a vírgula como separador decimal, portanto ); - raio inicial da seção transversal:
; - temperatura inicial:
; - temperatura final procurada:
; - potência da fonte (energia fornecida por unidade de tempo):
; - calor específico:
; - densidade a
: .
O enunciado pede:
a) a expressão literal e o valor numérico da dilatação superficial (variação da área) de uma seção transversal da barra quando a temperatura chega a ;
b) o tempo necessário para que a barra atinja essa temperatura, assumindo massa e praticamente constantes e desprezando perdas.
a) a expressão literal e o valor numérico da dilatação superficial (variação da área) de uma seção transversal da barra quando a temperatura chega a
b) o tempo necessário para que a barra atinja essa temperatura, assumindo massa e
Passo 2
Entendendo a dilatação superficial (aula curta e prática).
- Quando um corpo sofre dilatação térmica linear com coeficiente
, um comprimento linear passa a valer, após aumento de temperatura ,
Aqui
.
- Para uma seção circular de raio
, o novo raio é
- A área da seção é
. Substituindo:
- Expandindo e desprezando termos de ordem
(porque é pequeno), obtemos a relação usual entre coeficientes:
onde
é a área inicial.
- A dilatação superficial absoluta (variação da área) é, então,
(Explicação: a área cresce aproximadamente com o dobro do coeficiente linear porque tanto o raio na direção
quanto na direção
aumentam.)
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao problema (cálculos passo a passo).
- Primeiro calcule
:
- Calcule a área inicial da seção circular:
( aqui usei
; mantive mais casas para precisão nas contas.)
- Coeficiente de dilatação superficial aproximado:
- Agora
pela fórmula:
Substituindo números:
Calcule o fator numérico:
. Então
Arredondando razoavelmente:
.
Também opcionalmente a área final:
Passo 4
Energia necessária e tempo (aula rápida sobre balanço de energia).
- Para aumentar a temperatura de uma massa
em , a energia térmica necessária (assumindo capacidade térmica constante) é
onde
é o calor específico (J/(kg·K)) e
é a massa (kg).
- A massa da barra vale
pois o volume é área da seção vezes o comprimento.
- Como a potência fornecida é
(energia por unidade de tempo) e desprezamos perdas, o tempo necessário é
Expliquei a fórmula inteira para que possa memorizá-la e aplicá-la rapidamente na prova.
Passo 5
Cálculo numérico do tempo (contas detalhadas).
- Volume (passo intermediário já com
calculada):
- Massa:
- Energia necessária:
- Tempo:
Converter para horas, minutos e segundos:
ou em horas/minutos/segundos:
Resposta
(a)
.
(b)
(b)