Em telefonia celular baseada em estações terrenas a cobertura do diagrama desejada é omnidirecional e similar à de um monopolo (com um nulo em direção ao zênite, \theta= 0^{\circ} ). Isso pode ser alcançado com o uso de uma antena de plaqueta circular de microfita, operando em um modo de ordem superior, como o modo \mathrm{TM}^{\mathrm{z}}{ }_{210}. Presumindo que a desejada frequência de ressonância é 900 MHz , projete uma antena plaqueta circular de microfita operando no modo \mathrm{TM}^{\mathrm{z}}{ }_{210}. Supondo, ainda, um substrato de constante dielétrica igual a 10,2 e espessura de 0,127 \mathrm{~cm}.
a) Obtenha uma expressão para a frequência de ressonância do modo \mathrm{TM}^{\mathrm{z}}{ }_{210}.
b) Determine o raio da plaqueta circular (em cm). Despreze os efeitos de borda.

Passo 1

O enunciado pede o projeto de uma antena plaqueta circular de microfita operando no modo \mathrm{TM}^{z}_{210}, com ressonância em f_{r}=900\\ \mathrm{MHz}, sobre um substrato de espessura h=0,127\\ \mathrm{cm} e constante dielétrica \varepsilon_{r}=10,2. Vamos usar a teoria de cavidade aproximada para placas circulares, na qual a frequência de ressonância do modo \mathrm{TM}^{z}_{mn} é dada em função dos zeros da derivada da função de Bessel de primeira espécie.

Passo 2

Para o modo \mathrm{TM}^{z}_{210} (índice azimutal m=2, ordem radial n=1), a condição de ressonância é
J_{2}'\bigl(k_{\rho}R\bigr)\;=\;0
onde J_{2}' é a derivada de J_{2} e k_{\rho}=k_{0}\sqrt{\varepsilon_{r}} com k_{0}=2\pi f_{r}/c. Sejam X'_{2,1} o menor zero positivo de J_{2}', cujo valor é aproximadamente X'_{2,1}\approx3,0542. Dessa forma, a frequência de ressonância satisfaz
k_{\rho}R \;=\; X'_{2,1} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{2\pi f_{r}}{c}\sqrt{\varepsilon_{r}}\;R \;=\;X'_{2,1}.
Isolando f_{r}, obtemos a expressão desejada:
\boxed{\,f_{r\,210} =\frac{X'_{2,1}}{2\pi R}\,\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r}}}\,}.

Passo 3

Agora basta isolar o raio R na expressão acima:
R =\frac{X'_{2,1}}{2\pi f_{r}} \;\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r}}} =\frac{3,0542}{2\pi \,(9\times10^{8})} \;\frac{3\times10^{10}}{\sqrt{10,2}}\quad\text{(unidades em cm).}

Passo 4

Calculando numericamente:
\sqrt{10,2}\approx3,1937, \quad 2\pi\cdot9\times10^{8}\approx5,6549\times10^{9},
R\approx \frac{3,0542\times3\times10^{10}}{5,6549\times10^{9}\times3,1937} \approx5,07\\ \mathrm{cm}.

Resposta

O raio da plaqueta circular deve ser aproximadamente 5,07\\ \mathrm{cm}.

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