Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de:
ocorrer menos que 3 chamadas em 0,4 minutos;
ocorrer menos que 3 chamadas em 0,4 minutos;
Passo 1
Dados do enunciado (o que foi dado e o que se pede):
- A telefonista recebe em média
chamadas por minuto. - Intervalo de tempo pedido:
minutos. - Pergunta: qual a probabilidade de ocorrer menos que
chamadas nesse intervalo de minutos? Ou seja, queremos .
Passo 2
Qual modelo probabilístico usar e porquê (explicação didática):
- Quando eventos (aqui: chamadas) ocorrem de forma independente e com taxa média constante por unidade de tempo, o número de eventos numa janela de tempo é bem modelado por uma distribuição de Poisson.
- A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos num intervalo, e sua fórmula é:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo considerado; -
é a média (valor esperado) do número de eventos no intervalo; é igual à taxa média por unidade de tempo multiplicada pelo comprimento do intervalo; -
é o fatorial de (por exemplo , ). - Aqui, a taxa média por minuto é
chamadas/min. Para um intervalo de duração minutos, a média é .
Passo 3
Calcular a média
para o intervalo de
minutos:
Portanto o número de chamadas em
minutos segue
.
Passo 4
Expressar a probabilidade pedida em termos da Poisson e simplificar:
- Queremos
. - Usando a fórmula,
- Fatorando
,
Passo 5
Calcular a aproximação numérica (se for preciso um valor decimal):
- Sabendo que
, multiplicando por obtemos
- Observação prática: em uma prova sem calculadora pode-se deixar a resposta em forma exata
; se for pedido valor numérico, usar calculadora para obter aproximadamente .