Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de:
ocorrer menos que 3 chamadas em 0,4 minutos;

Passo 1

Dados do enunciado (o que foi dado e o que se pede):
  • A telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto.
  • Intervalo de tempo pedido: 0,4 minutos.
  • Pergunta: qual a probabilidade de ocorrer menos que 3 chamadas nesse intervalo de 0,4 minutos? Ou seja, queremos P(\text{número de chamadas em }0,4\text{ min} < 3)ú.

Passo 2

Qual modelo probabilístico usar e porquê (explicação didática):
  • Quando eventos (aqui: chamadas) ocorrem de forma independente e com taxa média constante por unidade de tempo, o número de eventos numa janela de tempo é bem modelado por uma distribuição de Poisson.
  • A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos num intervalo, e sua fórmula é:
P(X=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo considerado;
  • \mu é a média (valor esperado) do número de eventos no intervalo; é igual à taxa média por unidade de tempo multiplicada pelo comprimento do intervalo;
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 2!=2, 0!=1).
  • Aqui, a taxa média por minuto é \lambda=10 chamadas/min. Para um intervalo de duração t minutos, a média é \mu=\lambda t.

Passo 3

Calcular a média \mu para o intervalo de 0,4 minutos:
\mu = \lambda t = 10 \times 0,4 = 4.
Portanto o número de chamadas em 0,4 minutos segue X\sim\text{Poisson}(\mu=4).

Passo 4

Expressar a probabilidade pedida em termos da Poisson e simplificar:
  • Queremos P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
  • Usando a fórmula,
P(X<3)=e^{-4}\frac{4^{0}}{0!}+e^{-4}\frac{4^{1}}{1!}+e^{-4}\frac{4^{2}}{2!}.
  • Fatorando e^{-4},
P(X<3)=e^{-4}\left(\frac{4^{0}}{0!}+\frac{4^{1}}{1!}+\frac{4^{2}}{2!}\right) = e^{-4}\bigl(1 + 4 + \tfrac{16}{2}\bigr) = e^{-4}\bigl(1 + 4 + 8\bigr) = 13\,e^{-4}.

Passo 5

Calcular a aproximação numérica (se for preciso um valor decimal):
  • Sabendo que e^{-4}\approx 0,018315639, multiplicando por 13 obtemos
P(X<3)=13\,e^{-4}\approx 13\times 0,018315639 \approx 0,2381033.
  • Observação prática: em uma prova sem calculadora pode-se deixar a resposta em forma exata 13\,e^{-4}; se for pedido valor numérico, usar calculadora para obter aproximadamente 0,2381.

Resposta

13\,e^{-4}\approx 0,2381033

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