Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de:
não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto;

Passo 1

O enunciado dá a informação e pede claramente uma probabilidade. O que temos e o que pedem:
  • Dado: a telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto.
  • Pedido: a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto.

Passo 2

Que modelo usar e por quê (explicação didática e simples).
  • Quando eventos (aqui: chamadas) ocorrem de forma aleatória, independente entre si e com taxa média constante no tempo, o número de ocorrências em intervalos de tempo segue a distribuição de Poisson. Essas condições são razoáveis para o problema típico de chamadas telefônicas quando só se dá a média por minuto.
  • A distribuição de Poisson é usada para contar quantas ocorrências acontecem em um intervalo fixo de tempo. A fórmula da Poisson é:
P(N=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • N é a variável aleatória que representa o número de chamadas no intervalo considerado;
  • \lambda é a média (ou taxa) de chamadas no intervalo considerado (aqui, média por minuto);
  • k é o número específico de ocorrências cuja probabilidade se quer;
  • k! é o fatorial de k (por definição 0!=1).
  • No nosso caso, o intervalo é 1 minuto e a média nesse intervalo é \lambda=10. Queremos a probabilidade de k=0 chamadas.

Passo 3

Aplicando a fórmula da Poisson para k=0.
  • Substituindo \lambda=10 e k=0 na fórmula:
P(N=0)=\frac{10^{0} e^{-10}}{0!}.
  • Lembrando que 10^{0}=1 e 0!=1, isso simplifica para:
P(N=0)=e^{-10}.

Passo 4

Interpretação alternativa rápida (útil na prova) e verificação.
  • Alternativa: para um processo de Poisson com taxa \lambda por unidade de tempo, a probabilidade de não ocorrer nenhum evento em um intervalo de duração t é e^{-\lambda t}. Aqui t=1 e \lambda=10, então dá e^{-10} — coincide com o cálculo anterior.
  • Isso significa que a chance de passar 1 minuto sem receber nenhuma chamada é muito pequena, porque a média é alta ( 10 chamadas por minuto).

Passo 5

Avaliação numérica (para conferir na prova).
  • O valor exato é \;e^{-10}.
  • Aproximação numérica (arredondando):
e^{-10}\approx 4,54\times10^{-5}.

Resposta

e^{-10}\approx 4,54\times10^{-5}

Exercícios relacionados