Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de:
não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto;
não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto;
Passo 1
O enunciado dá a informação e pede claramente uma probabilidade. O que temos e o que pedem:
- Dado: a telefonista recebe em média
chamadas por minuto. - Pedido: a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada em
minuto.
Passo 2
Que modelo usar e por quê (explicação didática e simples).
- Quando eventos (aqui: chamadas) ocorrem de forma aleatória, independente entre si e com taxa média constante no tempo, o número de ocorrências em intervalos de tempo segue a distribuição de Poisson. Essas condições são razoáveis para o problema típico de chamadas telefônicas quando só se dá a média por minuto.
- A distribuição de Poisson é usada para contar quantas ocorrências acontecem em um intervalo fixo de tempo. A fórmula da Poisson é:
onde:
-
é a variável aleatória que representa o número de chamadas no intervalo considerado; -
é a média (ou taxa) de chamadas no intervalo considerado (aqui, média por minuto); -
é o número específico de ocorrências cuja probabilidade se quer; -
é o fatorial de (por definição ). - No nosso caso, o intervalo é
minuto e a média nesse intervalo é . Queremos a probabilidade de chamadas.
Passo 3
Aplicando a fórmula da Poisson para
.
- Substituindo
e na fórmula:
- Lembrando que
e , isso simplifica para:
Passo 4
Interpretação alternativa rápida (útil na prova) e verificação.
- Alternativa: para um processo de Poisson com taxa
por unidade de tempo, a probabilidade de não ocorrer nenhum evento em um intervalo de duração é . Aqui e , então dá — coincide com o cálculo anterior. - Isso significa que a chance de passar 1 minuto sem receber nenhuma chamada é muito pequena, porque a média é alta (
chamadas por minuto).
Passo 5
Avaliação numérica (para conferir na prova).
- O valor exato é
. - Aproximação numérica (arredondando):