A concessionária CQ da Volks admite que 2 \% dos modelos Gol 1.0 Mi apresentam desalinhamento de portas. De 1.000 unidades inspecionadas, qual a chance de 30 acusarem o defeito?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • De 1{,}000 unidades inspecionadas, cada uma tem probabilidade de 2\% de apresentar o defeito (desalinhamento de portas). Ou seja, n=1000 e p=0{,}02.
  • Pergunta: qual a chance de exatamente 30 unidades acusarem o defeito?

Passo 2

Modelagem probabilística do problema (o que queremos resolver).
  • Definir a variável aleatória X = número de carros com defeito entre as n inspeccionadas.
  • Quando cada unidade tem probabilidade p de “sucesso” (aqui, ter defeito), as inspeções são independentes e fixamos n, então X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p.
  • A fórmula da probabilidade exata é
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de combinações. Neste problema queremos P(X=30), isto é
P(X=30)=\binom{1000}{30}(0{,}02)^{30}(0{,}98)^{970}.

Passo 3

Por que não calcular exatamente com a fórmula binomial?
  • A expressão com \binom{1000}{30} e fatores em potências é correta, mas impraticável para fazer “na prova” sem calculadora/ computador: os fatoriais e potências ficam enormes.
  • Por isso é comum usar aproximações que são aceitáveis quando n é grande e p não é extremo. Vou escolher um método de aproximação prático e explicado passo a passo.

Passo 4

Critério para escolher a aproximação: normalizar a binomial.
  • Uma aproximação padrão é aproximar X\sim\mathrm{Bin}(n,p) por uma variável normal quando n é grande e np e n(1-p) são razoavelmente grandes (regra prática: ambos maiores que 5).
  • Aqui:
np=1000\cdot0{,}02=20,\qquad n(1-p)=1000\cdot0{,}98=980,
ambos bem maiores que 5. Logo a aproximação normal é apropriada.

Passo 5

Parâmetros da distribuição binomial (média e variância).
  • Para X\sim\mathrm{Bin}(n,p) valem as fórmulas
\mathbb{E}(X)=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).
  • Substituindo os números:
\mathbb{E}(X)=20,\qquad \mathrm{Var}(X)=1000\cdot0{,}02\cdot0{,}98=19{,}6.
  • O desvio padrão é
\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{19{,}6}\approx4{,}427188724.

Passo 6

Uso da correção de continuidade (importante para aproximar probabilidade de valor discreto).
  • Para aproximar P(X=30) com a normal, usa-se a correção de continuidade e calcula-se
P(X=30)\approx P\big(29{,}5<Y<30{,}5\big),
onde Y é normal com média \mu=20 e desvio padrão \sigma calculado acima.

Passo 7

Padronização para a normal padrão Z\sim N(0,1).
  • Padronizar transforma Y em Z pela fórmula
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}.
  • Aplicando aos limites:
z_1=\frac{29{,}5-20}{\sqrt{19{,}6}}\approx\frac{9{,}5}{4{,}427188724}\approx2{,}146,
z_2=\frac{30{,}5-20}{\sqrt{19{,}6}}\approx\frac{10{,}5}{4{,}427188724}\approx2{,}372.
  • Assim
P(29{,}5<Y<30{,}5)=P\big(z_1<Z<z_2\big)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão (tabela da normal).

Passo 8

Consulta da tabela da normal padrão e interpolação.
  • Valores aproximados da tabela:
\Phi(2{,}146)\approx0{,}98404,\qquad \Phi(2{,}372)\approx0{,}99114.
  • Subtraindo:
\Phi(z_2)-\Phi(z_1)\approx0{,}99114-0{,}98404=0{,}00710.

Passo 9

Interpretação e verificação rápida (chegar a uma conclusão prática).
  • O resultado indica que a probabilidade de exatamente 30 veículos apresentarem o defeito é cerca de 0{,}00710, ou seja aproximadamente 0{,}71\%.
  • Observação: se fosse usada outra aproximação comum (Poisson com \lambda=np=20), obtém-se um valor muito parecido, o que dá confiança no número final.

Resposta

0{,}00710

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