A concessionária CQ da Volks admite que
dos modelos Gol 1.0 Mi apresentam desalinhamento de portas. De 1.000 unidades inspecionadas, qual a chance de 30 acusarem o defeito?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
- De
unidades inspecionadas, cada uma tem probabilidade de de apresentar o defeito (desalinhamento de portas). Ou seja, e . - Pergunta: qual a chance de exatamente
unidades acusarem o defeito?
Passo 2
Modelagem probabilística do problema (o que queremos resolver).
- Definir a variável aleatória
= número de carros com defeito entre as inspeccionadas. - Quando cada unidade tem probabilidade
de “sucesso” (aqui, ter defeito), as inspeções são independentes e fixamos , então segue a distribuição binomial com parâmetros e . - A fórmula da probabilidade exata é
onde
é o número de combinações. Neste problema queremos
, isto é
Passo 3
Por que não calcular exatamente com a fórmula binomial?
- A expressão com
e fatores em potências é correta, mas impraticável para fazer “na prova” sem calculadora/ computador: os fatoriais e potências ficam enormes. - Por isso é comum usar aproximações que são aceitáveis quando
é grande e não é extremo. Vou escolher um método de aproximação prático e explicado passo a passo.
Passo 4
Critério para escolher a aproximação: normalizar a binomial.
- Uma aproximação padrão é aproximar
por uma variável normal quando é grande e e são razoavelmente grandes (regra prática: ambos maiores que ). - Aqui:
ambos bem maiores que
. Logo a aproximação normal é apropriada.
Passo 5
Parâmetros da distribuição binomial (média e variância).
- Para
valem as fórmulas
- Substituindo os números:
- O desvio padrão é
Passo 6
Uso da correção de continuidade (importante para aproximar probabilidade de valor discreto).
- Para aproximar
com a normal, usa-se a correção de continuidade e calcula-se
onde
é normal com média
e desvio padrão
calculado acima.
Passo 7
Padronização para a normal padrão
.
- Padronizar transforma
em pela fórmula
- Aplicando aos limites:
- Assim
onde
é a função de distribuição da normal padrão (tabela da normal).
Passo 8
Consulta da tabela da normal padrão e interpolação.
- Valores aproximados da tabela:
- Subtraindo:
Passo 9
Interpretação e verificação rápida (chegar a uma conclusão prática).
- O resultado indica que a probabilidade de exatamente
veículos apresentarem o defeito é cerca de , ou seja aproximadamente . - Observação: se fosse usada outra aproximação comum (Poisson com
), obtém-se um valor muito parecido, o que dá confiança no número final.