Um telescópio túpico usado por astrônomos amadores utiliza um espelho com diâmetro de 20 cm . Com esse telescópio (e um filtro para cortar a intensidade da luz solar até um nível tolerável para a visão), podemos examinar detalhes pequenos na superfície do Sol. Por que um telescópio com ondas de rádio deveria ter um diâmetro muito maior para poder “ver” os mesmos detalhes do Sol observades com ese plesćpio? observados com esse telescopio?

Passo 1

O enunciado diz que um telescópio óptico de diâmetro D_{\rm vis}=20\\ \text{cm} consegue resolver detalhes na superfície do Sol usando luz visível, cujo comprimento de onda típico é \lambda_{\rm vis}\approx5\times10^{-7}\\ \text{m}. Queremos saber por que, para “ver” os mesmos detalhes em ondas de rádio (onde \lambda_{\rm rad}\gg\lambda_{\rm vis}), o diâmetro D_{\rm rad} teria de ser muito maior. Vamos usar o critério de difração de Rayleigh para calcular o limite fundamental de resolução angular do telescópio óptico e, em seguida, determinar o diâmetro necessário para um radiotelescópio alcançar a mesma resolução.

Passo 2

O limite fundamental de resolução angular de um telescópio é dado pelo critério de difração de Rayleigh:
\theta_{\min}\approx1{,}22\,\frac{\lambda}{D}\,,
onde \theta_{\min} é o menor ângulo que conseguimos distinguir, \lambda é o comprimento de onda e D o diâmetro da abertura.
Para o telescópio óptico temos
\theta_{\rm vis} \approx1{,}22\,\frac{\lambda_{\rm vis}}{D_{\rm vis}} =1{,}22\,\frac{5\times10^{-7}}{0{,}20} \approx3{,}05\times10^{-6}\\ \text{rad}\,,
ou seja, esse é o ângulo mínimo que permite “ver” detalhes na luz visível.

Passo 3

Para igualar essa resolução em rádio, precisamos de
\theta_{\rm rad} =1{,}22\,\frac{\lambda_{\rm rad}}{D_{\rm rad}} \stackrel{!}{=}\theta_{\rm vis}\,.
Isolando D_{\rm rad},
D_{\rm rad} =1{,}22\,\frac{\lambda_{\rm rad}}{\theta_{\rm vis}} =1{,}22\,\frac{\lambda_{\rm rad}}{3{,}05\times10^{-6}}\,.
Se tomarmos \lambda_{\rm rad}\sim0{,}21\\ \text{m} (banda de 21 cm), então
D_{\rm rad}\approx1{,}22\cdot\frac{0{,}21}{3{,}05\times10^{-6}} \approx8{,}4\times10^{4}\\ \text{m}\approx84\\ \text{km}\,.

Passo 4

Esse cálculo mostra que, como \lambda_{\rm rad} é cerca de 4\times10^{5} vezes maior que \lambda_{\rm vis}, para manter a mesma resolução angular o diâmetro do telescópio em rádio tem de crescer na mesma proporção, alcançando dezenas de quilômetros.

Resposta

Porque o limite de resolução imposto pela difração é \theta\approx1{,}22\,\lambda/D. Como o comprimento de onda das ondas de rádio é muito maior que o da luz visível, para manter o mesmo \theta o diâmetro D deve crescer na mesma proporção — chegando a dezenas ou centenas de quilômetros.

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