Uma televisão está sendo negociada em 6 paga mentos mensais de$72,00 cada um. Qual deve ser a entrada, de forma que o financiamento seja equivalente ao preço a vista de \650,00 ? A taxa de juro mensal é deé3,9 %$.

Passo 1

O enunciado diz que o preço à vista é \$650,00 e que há uma proposta de pagamento com entrada (valor desconhecido) mais 6 parcelas mensais de \$72,00 cada. A taxa de juro é de 3,9\% ao mês.
O que o problema pede: calcular o valor da entrada de modo que o valor presente (no momento da compra) do plano com entrada + 6 parcelas seja igual a \$650,00.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Preço à vista} = \$650,00,\\\ &\text{Número de parcelas} = n=6,\\\ &\text{Parcela mensal} = R=\$72,00,\\\ &\text{Taxa mensal} = i=3,9\% = 0,039. \end{aligned}çàú

Passo 2

Explicando a ideia (didático e passo a passo): queremos comparar valores no mesmo momento (o instante da compra). As 6 parcelas de \$72,00 serão pagas no futuro; cada parcela vale menos hoje por causa dos juros. O valor atual (presente) de cada parcela é a parcela dividida por (1+i)^k, onde k é o número de meses até o pagamento. Somando o valor presente de todas as parcelas obtemos o valor presente total das prestações. Então a entrada será:
\text{entrada} = \text{preço à vista} - \text{valor presente das 6 parcelas}.çà
Vou ensinar uma fórmula prática para calcular o valor presente de uma série uniforme de parcelas (anuidade).

Passo 3

Derivação e explicação da fórmula da anuidade (passo a passo, sem pular etapas). Chamemos cada parcela de R, taxa mensal de i e número de parcelas de n. O valor presente PV das n parcelas é:
PV = \frac{R}{(1+i)} + \frac{R}{(1+i)^2} + \cdots + \frac{R}{(1+i)^n}.
Isso é uma soma geométrica. Fatorando R e escrevendo q=\frac{1}{1+i} (a razão da progressão geométrica),
PV = R\,(q + q^2 + \cdots + q^n).
A soma dos primeiros n termos de uma PG com razão q\neq 1 é q\frac{1-q^{n}}{1-q}. Aplicando aqui:
PV = R \cdot \frac{q(1-q^{n})}{1-q}.
Agora voltamos a q=\frac{1}{1+i}. Substituindo e simplificando obtemos a fórmula clássica:
PV = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicação das variáveis:
  • PV é o valor presente das parcelas (quanto elas valem hoje).
  • R é o valor de cada parcela.
  • i é a taxa por período (aqui mensal).
  • n é o número de parcelas.

Passo 4

Aplicamos a fórmula ao nosso caso. Substituindo R=\$72,00, i=0,039 e n=6:
PV = \$72,00 \cdot \frac{1-(1+0,039)^{-6}}{0,039}.
Calcule primeiro 1+i:
1+i = 1+0,039 = 1,039.

Passo 5

Agora vamos calcular (1,039)^6 passo a passo (para eu te mostrar como fazer as contas manualmente sem pular etapas):
\begin{aligned} (1,039)^2 &= 1,039\times 1,039 = 1,079521,\\\ (1,039)^3 &= 1,079521\times 1,039 = 1,121622319,\\\ (1,039)^4 &= 1,121622319\times 1,039 = 1,165364585441,\\\ (1,039)^5 &= 1,165364585441\times 1,039 = 1,210813804273199,\\\ (1,039)^6 &= 1,210813804273199\times 1,039 = 1,2580355426398538. \end{aligned}
Portanto
(1,039)^{-6} = \frac{1}{1,2580355426398538}\approx 0,794889.
(Se você fizer essas multiplicações na prova, pode arredondar com cuidado; eu mostrei as multiplicações para você acompanhar o raciocínio.)

Passo 6

Continuando o cálculo do fator anuidade:
\frac{1-(1+0,039)^{-6}}{0,039} = \frac{1-0,794889}{0,039} = \frac{0,205111}{0,039}\approx 5,259256.
Agora o valor presente das parcelas é
PV = \$72,00 \times 5,259256 \approx \$378,6664608 \approx \$378,67.

Passo 7

Finalmente, a entrada necessária para que o financiamento seja equivalente ao preço à vista de \$650,00 é
\text{entrada} = \$650,00 - PV \approx \$650,00 - \$378,6664608 \approx \$271,3335392 \approx \$271,33.
Arredondamos para centavos (moeda), ficando \$271,33. Você pode conferir: \$271,33 + 6\times \$72,00 descontadas a 3,9\% ao mês dá, ao valor presente, aproximadamente \$650,00.

Resposta

$271,33

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