Um terreno é vendido por \ 20.000,00 a vista, ou por40 % de entrada e o restante em 12 prestações mensais. Para uma taxa de juros deçõ2,5 %$ a.m., determinar o valor de cada prestação mensal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Preço à vista: \$20.000{,}00.
  • Opção de pagamento: entrada de 40\% e o restante em 12 prestações mensais iguais.
  • Taxa de juros: 2{,}5\% ao mês.
  • Pergunta: determinar o valor de cada prestação mensal (ou seja, o valor de cada uma das 12 parcelas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Preço à vista} = \$20.000{,}00çà
\text{Percentual da entrada} = 40\%
\text{Número de prestações} = 12úçõ
\text{Taxa mensal} = 2{,}5\%\;=\;0{,}025\\ (\text{em forma decimal})

Passo 2

Entendendo o que precisamos calcular (e a ideia por trás): a entrada de 40\% é paga à vista, e o restante do preço vira um financiamento que será pago em 12 prestações mensais iguais, com juros de 2{,}5\% ao mês. O que precisamos é encontrar a prestação R de modo que o valor presente das 12 prestações (descontadas à taxa mensal) seja igual ao valor financiado (o saldo após a entrada).
Definimos as variáveis principais:
\text{PV} = \text{valor presente do financiamento} \quad(\text{em \$})
i = \text{taxa de juros por período} = 0{,}025í
n = \text{nº de períodos} = 12ºí
R = \text{valor de cada prestação (o que queremos)}çã
Fórmula fundamental (valor presente de uma anuidade-imediata, ou seja, prestações no final de cada mês): o valor presente de n prestações iguais R, à taxa i, é
\text{PV} = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Essa fórmula vem da soma da série geométrica das prestações descontadas: cada prestação R paga no mês k vale, em valor presente, R(1+i)^{-k}; somando k=1 até n resulta na expressão acima. Rearranjando para R:
R = \text{PV}\cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.

Passo 3

Calcular o valor financiado (PV) após a entrada:
\text{Entrada} = 40\% \times \$20.000{,}00 = 0{,}40 \times \$20.000{,}00 = \$8.000{,}00.
Logo o saldo financiado é
\text{PV} = \$20.000{,}00 - \$8.000{,}00 = \$12.000{,}00.
Portanto, na fórmula teremos \text{PV}=\$12.000{,}00, i=0{,}025 e n=12.

Passo 4

Calcular o fator (1+i)^{n} passo a passo (para não depender de calculadora apenas com um “botão”):
1{,}025^{1}=1{,}025
1{,}025^{2}=1{,}050625
1{,}025^{3}=1{,}076890625
1{,}025^{4}=1{,}103812890625
1{,}025^{5}=1{,}131408212890625
1{,}025^{6}=1{,}1596934182128906
1{,}025^{7}=1{,}1886857536682128
1{,}025^{8}=1{,}2184028975099182
1{,}025^{9}=1{,}2488629699476662
1{,}025^{10}=1{,}2800845441963578
1{,}025^{11}=1{,}3120866578002666
1{,}025^{12}=1{,}3448883247457733
Então (1+i)^{n} \approx 1{,}3448883247457733.

Passo 5

Calcular o denominador da fórmula de R:
1-(1+i)^{-n}=1-\frac{1}{(1+i)^{n}}=1-\frac{1}{1{,}3448883247457733}.
Primeiro calculamos a diferença na forma equivalente
1-(1+i)^{-n}=\frac{(1+i)^{n}-1}{(1+i)^{n}}=\frac{1{,}3448883247457733-1}{1{,}3448883247457733}=\frac{0{,}3448883247457733}{1{,}3448883247457733}.
Fazendo a divisão obtemos
1-(1+i)^{-n}\approx 0{,}256116686.
Agora aplicamos a fórmula de R:
R=\text{PV}\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}=\;12000\cdot\frac{0{,}025}{0{,}256116686}.
Calcule o numerador:
12000\times 0{,}025 = 300.
Dividindo:
R \approx \frac{300}{0{,}256116686}\approx 1171{,}158\ldots
Arredondando para centavos (duas casas decimais), obtemos
R \approx \$1.171{,}16\\ \text{por mês}.ê

Passo 6

Interpretação final rápida: cada parcela mensal é de aproximadamente \$1.171{,}16. Pode-se checar multiplicando 12 prestações: 12\times 1.171{,}16=\$14.053{,}92. Somando a entrada de \$8.000{,}00 \$22.053{,}92, que é maior que o preço à vista \$20.000{,}00 devido aos juros do financiamento — faz sentido.

Resposta

\$1.171{,}16

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