A compra de um automóvel está sendo financiada em 18 prestações mensais de \mathrm{R} \ 1.228,76 sendo a primeira de entrada a uma taxa mensal composta de2,2 %$. Determine o valor à vista do automóvel.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
  • Informação: as prestações são 18 mensais de valor \mathrm{R}\$\,1{,}228{,}76.
  • Informação: a primeira prestação é paga como entrada (isto é, imediatamente, no instante t=0).
  • Informação: a taxa de juros é composta mensal de 2{,}2\% (ou seja, i=0{,}022 ao mês).
  • Pedido: determinar o valor à vista do automóvel (isto é, o valor presente hoje de todas as prestações, assumindo que a entrada já é paga agora).
Resumo útil (para não nos perder): há 18 pagamentos iguais, o primeiro já é pago agora (portanto é uma anuidade paga no início dos períodos, chamada anuidade-vencida ou “annuity-due”) e a taxa mensal é i=0{,}022. Vamos calcular o valor presente dessa anuidade-due.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • O valor presente (PV) de uma sequência de pagamentos é a soma de cada pagamento trazido à data zero através do desconto pela taxa de juros composta.
  • Para uma anuidade com pagamentos iguais R por n períodos, pagos no final de cada período (anuidade-imediata), a fórmula do valor presente é
\text{PV}_{\text{imediata}} = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui:
  • R é o valor da prestação,
  • i é a taxa por período (aqui mensal),
  • n é o número de parcelas.
  • Quando os pagamentos são feitos no início de cada período (anuidade-vencida, também chamada annuity-due), cada pagamento está antecipado em um período em relação à anuidade-imediata, e a relação é
\text{PV}_{\text{vencida}} = \text{PV}_{\text{imediata}}\cdot(1+i).
Intuitivamente: o mesmo fluxo, mas adiantado um período vale um fator 1+i a mais.
No nosso problema o fluxo é exatamente uma anuidade-vencida com n=18, R=\mathrm{R}\$\,1{,}228{,}76 e i=0{,}022. Portanto usaremos a fórmula
\text{PV} \;=\; R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\cdot(1+i).

Passo 3

Colocando os valores na fórmula.
Substituímos R=\mathrm{R}\$\,1{,}228{,}76, i=0{,}022 e n=18 na fórmula:
\text{PV} = 1{,}228{,}76\cdot\frac{1-(1{,}022)^{-18}}{0{,}022}\cdot(1{,}022).
Agora precisamos calcular o fator (1{,}022)^{-18} e a razão inteira.

Passo 4

Cálculo de (1{,}022)^{18} e do inverso (1{,}022)^{-18} (explicando como obter sem pular etapas).
  • Primeiro calculamos 1+i = 1{,}022.
  • Podemos estimar (1{,}022)^{18} usando a expansão logarítmica ou multiplicações graduais. Usando a aproximação por logaritmo natural: \ln(1{,}022)\approx 0{,}021758. Multiplicando por 18 obtemos \ln((1{,}022)^{18})\approx 0{,}391644. Voltando da função exponencial:
(1{,}022)^{18} \approx e^{0{,}391644}\approx 1{,}47933.
  • Portanto
(1{,}022)^{-18} \approx \frac{1}{1{,}47933}\approx 0{,}67566.
(Se preferir, poderia fazer multiplicações sucessivas de 1{,}022 de modo manual até elevar a 18; o resultado numérico que obtivemos é (1{,}022)^{18}\approx 1{,}47933.)

Passo 5

Continuando a avaliação da fração \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Substituindo (1{,}022)^{-18}\approx 0{,}67566 temos
1-(1{,}022)^{-18} \approx 1-0{,}67566 = 0{,}32434.
  • Dividindo por i=0{,}022:
\frac{1-(1{,}022)^{-18}}{0{,}022} \approx \frac{0{,}32434}{0{,}022} \approx 14{,}7427.
  • Multiplicando por (1{,}022) (porque é anuidade-vencida):
\frac{1-(1{,}022)^{-18}}{0{,}022}\cdot(1{,}022) \approx 14{,}7427\cdot 1{,}022 \approx 15{,}0706.
Esse número 15{,}0706 é o fator que transforma cada prestação R no seu valor presente total.

Passo 6

Multiplicando pelo valor da prestação para obter o valor à vista.
  • Multiplicamos R=\mathrm{R}\$\,1{,}228{,}76 pelo fator 15{,}0706:
\text{PV} \approx 1{,}228{,}76 \times 15{,}0706 \approx 18{,}517{,}40.
  • Arredondando para centavos, o valor presente (valor à vista) do automóvel é aproximadamente \mathrm{R}\$\,18{,}517{,}40.

Resposta

\mathrm{R}\$\,18{,}517{,}40

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