A compra de um automóvel está sendo financiada em 18 prestações mensais de
1.228,76
2,2 %$. Determine o valor à vista do automóvel.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
- Informação: as prestações são
mensais de valor . - Informação: a primeira prestação é paga como entrada (isto é, imediatamente, no instante
). - Informação: a taxa de juros é composta mensal de
(ou seja, ao mês). - Pedido: determinar o valor à vista do automóvel (isto é, o valor presente hoje de todas as prestações, assumindo que a entrada já é paga agora).
Resumo útil (para não nos perder): há
pagamentos iguais, o primeiro já é pago agora (portanto é uma anuidade paga no início dos períodos, chamada anuidade-vencida ou “annuity-due”) e a taxa mensal é
. Vamos calcular o valor presente dessa anuidade-due.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- O valor presente (PV) de uma sequência de pagamentos é a soma de cada pagamento trazido à data zero através do desconto pela taxa de juros composta.
- Para uma anuidade com pagamentos iguais
por períodos, pagos no final de cada período (anuidade-imediata), a fórmula do valor presente é
Aqui:
-
é o valor da prestação, -
é a taxa por período (aqui mensal), -
é o número de parcelas. - Quando os pagamentos são feitos no início de cada período (anuidade-vencida, também chamada annuity-due), cada pagamento está antecipado em um período em relação à anuidade-imediata, e a relação é
Intuitivamente: o mesmo fluxo, mas adiantado um período vale um fator
a mais.
No nosso problema o fluxo é exatamente uma anuidade-vencida com
,
e
. Portanto usaremos a fórmula
Passo 3
Colocando os valores na fórmula.
Substituímos
,
e
na fórmula:
Agora precisamos calcular o fator
e a razão inteira.
Passo 4
Cálculo de
e do inverso
(explicando como obter sem pular etapas).
- Primeiro calculamos
. - Podemos estimar
usando a expansão logarítmica ou multiplicações graduais. Usando a aproximação por logaritmo natural: . Multiplicando por obtemos . Voltando da função exponencial:
- Portanto
(Se preferir, poderia fazer multiplicações sucessivas de
de modo manual até elevar a 18; o resultado numérico que obtivemos é
.)
Passo 5
Continuando a avaliação da fração
.
- Substituindo
temos
- Dividindo por
:
- Multiplicando por
(porque é anuidade-vencida):
Esse número
é o fator que transforma cada prestação
no seu valor presente total.
Passo 6
Multiplicando pelo valor da prestação para obter o valor à vista.
- Multiplicamos
pelo fator :
- Arredondando para centavos, o valor presente (valor à vista) do automóvel é aproximadamente
.