[1,5 pts] Dada \vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2} z^{3}+2 y+\cos x\right) \vec{i}+\left(2 x y z^{3}+2 x+\sin y\right) \vec{j}+\left(3 x y^{2} z^{2}+2 e^{2}\right) \vec{k}, assuma que \vec{F}.conservativo e calcule f tal que \nabla f(x, y, z)=\vec{F}(\bar{x}, y, z).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(y^{2} z^{3}+2 y+\cos x\bigr)\,\vec{i}+\bigl(2 x y z^{3}+2 x+\sin y\bigr)\,\vec{j}+\bigl(3 x y^{2} z^{2}+2 e^{2}\bigr)\,\vec{k}
e pede para encontrar uma função escalar f(x,y,z) tal que \nabla f(x,y,z)=\vec{F}(x,y,z).
Informações relevantes fornecidas:
P(x,y,z)=y^{2} z^{3}+2 y+\cos x,
Q(x,y,z)=2 x y z^{3}+2 x+\sin y,
R(x,y,z)=3 x y^{2} z^{2}+2 e^{2},
e o enunciado afirma que \vec{F} é conservativo (portanto existe potencial f).

Passo 2

Lembrete prático (passo-a-passo para achar potencial): se \nabla f=(f_x,f_y,f_z)=\vec{F}=(P,Q,R), então devemos ter
f_x=P,\qquad f_y=Q,\qquad f_z=R.
Método padrão: integrar f_x=P em relação a x para obter f até uma função “constante” que pode depender de y,z; depois usar f_y para achar essa função, e finalmente f_z para determinar qualquer função restante. Vou aplicar exatamente isso.

Passo 3

Integro \;f_x=P(x,y,z)=y^{2} z^{3}+2 y+\cos x\; em relação a x. Ao integrar termo a termo, tratamos y e z como constantes:
  • \displaystyle\int y^{2} z^{3}\,dx = x\,y^{2} z^{3} (porque y^{2}z^{3} é constante em x),
  • \displaystyle\int 2y\,dx = 2yx,
  • \displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x.
Portanto
f(x,y,z)=x\,y^{2} z^{3}+2yx+\sin x+g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 4

Agora calcule f_y a partir da expressão obtida e compare com Q para determinar g_y.
Derivando termo a termo em relação a y:
  • \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2} z^{3}\bigr)=x\cdot 2y\cdot z^{3}=2xy z^{3},
  • \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(2yx)=2x,
  • \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(\sin x)=0,
  • \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}g(y,z)=g_y(y,z).
Logo
f_y=2xy z^{3}+2x+g_y(y,z).
Mas sabemos que f_y deve ser igual a Q(x,y,z)=2 x y z^{3}+2 x+\sin y. Igualando os dois:
2xy z^{3}+2x+g_y(y,z)=2xy z^{3}+2x+\sin y.
Cancelando os termos iguais, obtemos
g_y(y,z)=\sin y.

Passo 5

Integro \;g_y(y,z)=\sin y\; em relação a y. A integral de \sin y em y é -\cos y, portanto
g(y,z)=-\cos y + h(z),
onde h(z) é outra “constante” de integração, agora dependendo só de z.
Substituo de volta em f:
f(x,y,z)=x\,y^{2} z^{3}+2yx+\sin x -\cos y + h(z).

Passo 6

Agora uso f_z para determinar h(z). Calculo f_z a partir da expressão atual:
  • \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,y^{2} z^{3}\bigr)=x\,y^{2}\cdot 3 z^{2}=3 x y^{2} z^{2},
  • \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(2yx)=0,
  • \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(\sin x)=0,
  • \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(-\cos y)=0,
  • \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}h(z)=h'(z).
Portanto
f_z=3 x y^{2} z^{2}+h'(z).
Devemos ter f_z=R(x,y,z)=3 x y^{2} z^{2}+2 e^{2}. Igualando,
3 x y^{2} z^{2}+h'(z)=3 x y^{2} z^{2}+2 e^{2},
o que implica
h'(z)=2 e^{2}.

Passo 7

Integro h'(z)=2 e^{2} em relação a z. Como 2 e^{2} é constante em z, a integral é
h(z)=2 e^{2}\,z + C,
onde C é uma constante real arbitrária.
Logo o potencial completo é
f(x,y,z)=x\,y^{2} z^{3}+2yx+\sin x -\cos y + 2 e^{2}\,z + C.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): calculemos as derivadas parciais de f para confirmar que coincidem com os componentes originais de \vec{F}.
  • f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2} z^{3})+\dfrac{\partial}{\partial x}(2yx)+\dfrac{\partial}{\partial x}(\sin x)=y^{2} z^{3}+2y+\cos x, que é P.
  • f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2} z^{3})+\dfrac{\partial}{\partial y}(2yx)+\dfrac{\partial}{\partial y}(-\cos y)=2 x y z^{3}+2x+\sin y, que é Q.
  • f_z=\dfrac{\partial}{\partial z}(x y^{2} z^{3})+\dfrac{\partial}{\partial z}(2 e^{2} z)=3 x y^{2} z^{2}+2 e^{2}, que é R.
Tudo confere, então a função encontrada é correta (até uma constante aditiva).

Resposta

f(x,y,z)=x\,y^{2} z^{3}+2xy+\sin x-\cos y+2 e^{2}z+C

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