[1,5 pts] Dada
, assuma que
.conservativo e calcule
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para encontrar uma função escalar
tal que
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
e o enunciado afirma que
é conservativo (portanto existe potencial
).
Passo 2
Lembrete prático (passo-a-passo para achar potencial): se
, então devemos ter
Método padrão: integrar
em relação a
para obter
até uma função “constante” que pode depender de
; depois usar
para achar essa função, e finalmente
para determinar qualquer função restante. Vou aplicar exatamente isso.
Passo 3
Integro
em relação a
. Ao integrar termo a termo, tratamos
e
como constantes:
-
(porque é constante em ), -
, -
.
Portanto
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 4
Agora calcule
a partir da expressão obtida e compare com
para determinar
.
Derivando termo a termo em relação a
:
-
, -
, -
, -
.
Logo
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando os dois:
Cancelando os termos iguais, obtemos
Passo 5
Integro
em relação a
. A integral de
em
é
, portanto
onde
é outra “constante” de integração, agora dependendo só de
.
Substituo de volta em
:
Passo 6
Agora uso
para determinar
. Calculo
a partir da expressão atual:
-
, -
, -
, -
, -
.
Portanto
Devemos ter
. Igualando,
o que implica
Passo 7
Integro
em relação a
. Como
é constante em
, a integral é
onde
é uma constante real arbitrária.
Logo o potencial completo é
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): calculemos as derivadas parciais de
para confirmar que coincidem com os componentes originais de
.
-
, que é . -
, que é . -
, que é .
Tudo confere, então a função encontrada é correta (até uma constante aditiva).