O telhado de uma casa consiste em uma laje plana de concreto de 15 cm de espessura (de material com condutividade térmica de 2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) com 15 metros de largura e 20 m de comprimento. A emissividade da superficie externa do telhado é 0,9 . A superficie interna do telhado é mantida a 15^{\circ} \mathrm{C} enquanto a superficie externa do mesmo mantém-se a 8, \widehat{64}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Em uma noite clara de inverno, o ar ambiente (externo) está a 10{ }^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura noturna do céu para a troca de calor por radiação é de 255 K . Determinar o coeficiente de transferência por convecção (médio) externo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do problema:
    • Espessura da laje: d=0,15\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica do concreto: k=2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\!\cdot\!\mathrm{K}.
    • Largura =15\\ \mathrm{m} e comprimento =20\\ \mathrm{m} (logo área total A=300\\ \mathrm{m}^2, mas a resolução pode ser feita por unidade de área).
    • Emissividade da face externa: \varepsilon=0,9.
    • Temperatura da superfície interna (lado quente): T_{\mathrm{in}}=15{ }^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura da superfície externa (lado frio): T_{s}=8,64{ }^{\circ}\mathrm{C}. (valor fornecido no enunciado)
    • Temperatura do ar ambiente externo: T_{\infty}=10{ }^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura efetiva do céu para radiação: T_{\mathrm{sky}}=255\\ \mathrm{K}.
  • O que se pede:
    • Determinar o coeficiente médio de convecção externo h (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{K}).
Observação física que vamos usar (sem calcular ainda): em regime estacionário e assumindo transferência 1‑D através da laje, a densidade de fluxo de calor por condução através da laje (do interior para a superfície externa) deve igualar a soma dos fluxos perdidos pela superfície externa por convecção com o ar e por radiação para o céu:
q_{\text{cond}}=q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}}.

Passo 2

Converter temperaturas para Kelvin quando for calcular radiação e calcular o fluxo de condução através da laje.
  • Conversões: T_{s}=8,64^\circ\mathrm{C}=8,64+273,15=281,79\\ \mathrm{K},
T_{\infty}=10^\circ\mathrm{C}=283,15\\ \mathrm{K}.
(Já foi fornecido T_{\mathrm{sky}}=255\\ \mathrm{K}.)
  • Fluxo de condução (por unidade de área) usando a lei de Fourier em regime estacionário e 1‑D: q_{\text{cond}}=\frac{k}{d}\,\bigl(T_{\mathrm{in}}-T_{s}\bigr).Calcular passo a passo: \frac{k}{d}=\frac{2}{0,15}=13,\overline{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{K},
\Delta T_{\text{cond}}=T_{\mathrm{in}}-T_{s}=15-8,64=6,36\\ ^\circ\mathrm{C}.
Logo
q_{\text{cond}}=13,\overline{3}\times 6,36 \approx 84,8\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Explicação curta (didática): a expressão \dfrac{k}{d}(T_{\mathrm{in}}-T_s) dá a taxa de calor por metro quadrado que atravessa a laje do interior para a face externa; usamos \Delta T em graus Celsius porque diferenças de temperatura têm a mesma magnitude em Kelvin e em Celsius.

Passo 3

Calcular o fluxo radiativo da face externa para o céu usando a lei de Stefan–Boltzmann.
  • Fórmula:
    q_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\bigl(T_{s}^4-T_{\mathrm{sky}}^4\bigr),
    onde \sigma=5{,}6703744\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{K}^4 é a constante de Stefan–Boltzmann.
  • Para calcular T_{s}^4-T_{\mathrm{sky}}^4 de forma numérica estável, uso a fatoração
    T_{s}^4-T_{\mathrm{sky}}^4=(T_{s}^2-T_{\mathrm{sky}}^2)(T_{s}^2+T_{\mathrm{sky}}^2).
    Calculemos:
    T_{s}^2=281,79^2\approx79\,405{,}6\\ \mathrm{K}^2,
T_{\mathrm{sky}}^2=255^2=65\,025\\ \mathrm{K}^2,
T_{s}^2-T_{\mathrm{sky}}^2\approx14\,380{,}6, \qquad T_{s}^2+T_{\mathrm{sky}}^2\approx144\,430{,}6.
Multiplicando:
T_{s}^4-T_{\mathrm{sky}}^4\approx 14\,380{,}6\times144\,430{,}6 \approx 2{,}0779\times10^{9}\\ \mathrm{K}^4.
Agora aplicando \sigma e \varepsilon:
q_{\text{rad}}=\;0,9\times(5{,}6703744\times10^{-8})\times 2{,}0779\times10^{9} \approx 106{,}0\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Breve explicação: a radiação é muito sensível à temperatura absoluta (potência 4), por isso precisamos trabalhar em Kelvin. O resultado é o fluxo radiativo por metro quadrado da superfície para o céu.

Passo 4

Aplicar o balanço de energia na superfície externa e isolar h.
  • Balanço:
    q_{\text{cond}}=q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}}.
    Logo
    q_{\text{conv}}=q_{\text{cond}}-q_{\text{rad}}.
    Substituindo os valores:
    q_{\text{conv}}=84{,}8-106{,}0=-21{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\\ (\text{aprox.}).
    Interpretação: o sinal negativo indica que, por convecção, há fluxo de calor do ar para a superfície (isto é, a convecção está aquecendo a superfície), porque a superfície está mais fria que o ar.
  • Relação entre fluxo convectivo e coeficiente h:
    q_{\text{conv}}=h\,(T_{s}-T_{\infty}).
    Assim
    h=\frac{q_{\text{conv}}}{T_{s}-T_{\infty}}.
    Calcule o denominador:
    T_{s}-T_{\infty}=8,64-10=-1,36\\ ^\circ\mathrm{C}.
    Portanto
    h=\frac{-21{,}21}{-1,36}\approx 15{,}6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{K}.
Nota didática: apesar dos sinais negativos, o coeficiente h é positivo (é uma propriedade da troca convectiva). A forma que usamos garante um resultado positivo porque tanto numerador quanto denominador são negativos neste caso (fluxo convectivo de ar para a superfície e diferença T_s-T_\infty negativa).

Passo 5

Checagem rápida de consistência física e comentário final.
  • Valor obtido h\approx 15{,}6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{K} é razoável para convecção externa em condições noturnas (ordens típicas variam ~5–25 \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{K} dependendo do vento).
  • Observação: aqui usei o equilíbrio local por unidade de área; a área total não era necessária para encontrar h.

Resposta

h = 15,6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{K}

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