O telhado de uma casa faz um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Uma bola rola pelo telhado e deixa o telhado com uma velocidade de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A altura do telhado até o solo é de 7,0 \mathrm{~m}. a) Quanto tempo a bola permanece no ar? b) Qual é a distância horizontal a partir da base da casa até onde a bola cai no solo? c) Qual é a velocidade e a direção da bola logo antes de atingir o solo? ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve uma bola que sai do telhado com velocidade inicial \,v_0=5{,}0\;\mathrm{m/s} num ângulo de \,30^\circ acima da horizontal, a partir de uma altura de \,7{,}0\;\mathrm{m} em relação ao solo. O movimento é um lançamento oblíquo sob aceleração da gravidade \,g=9{,}8\;\mathrm{m/s^2}. Para resolver, vamos decompor a velocidade inicial, encontrar o tempo de queda pela equação do movimento vertical, depois achar a distância horizontal e, por fim, determinar a velocidade e direção no impacto.

Passo 2

Decompomos \,v_0 em componentes horizontal e vertical:
v_{0x} = v_0\cos(30^\circ) = 5\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33\;\mathrm{m/s},
v_{0y} = v_0\sin(30^\circ) = 5\cdot\frac12 = 2{,}5\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

A altura em função do tempo é
y(t)=y_0 + v_{0y}t - \tfrac12\,g\,t^2
com y_0=7{,}0. No impacto y(t)=0, logo
7 + 2{,}5\,t - 4{,}9\,t^2 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
t = \frac{-2{,}5 + \sqrt{2{,}5^2 +4\cdot4{,}9\cdot7}}{2\cdot(-4{,}9)}.
Tomando a raiz positiva, obtém-se
t\approx1{,}48\;\mathrm{s}.

Passo 4

A componente horizontal é constante, então a distância da base da casa até o ponto de queda é
x = v_{0x}\,t \approx 4{,}33\cdot1{,}48 \approx 6{,}41\;\mathrm{m}.

Passo 5

No instante do impacto, a componente horizontal da velocidade continua sendo v_{x}=4{,}33\;\mathrm{m/s} e a vertical é
v_{y} = v_{0y} - g\,t = 2{,}5 - 9{,}8\cdot1{,}48 \approx -11{,}97\;\mathrm{m/s},
ou seja, apontando para baixo. A velocidade resultante vale
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \approx \sqrt{4{,}33^2 +(-11{,}97)^2} \approx 12{,}7\;\mathrm{m/s},
e o ângulo abaixo da horizontal satisfaz
\varphi = \arctan\!\biggl(\frac{|v_y|}{v_x}\biggr) \approx \arctan\!\bigl(\tfrac{11{,}97}{4{,}33}\bigr)\approx70^\circ.

Resposta

a) t\approx1{,}48\;\mathrm{s}.
b) x\approx6{,}41\;\mathrm{m}.
c) v\approx12{,}7\;\mathrm{m/s} num ângulo de 70^\circ abaixo da horizontal.

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