1. O telhado de um silo é feito com a revolução de uma curva f(x) de x=-5 m até x=5 m em torno do eixo y.
    A área da superfície S, obtida com a revolução, é dada por
S=2 \pi \int_{-5}^{5} x\left[\sqrt{1+\pi^{2} \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{\pi}{10} x\right)}\right] d x
Usando o método de \frac{1}{3} de Simpson com m=4 determine a área da superfície S.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície
S = 2\pi \int_{-5}^{5} x \,\sqrt{1 + \pi^{2}\,\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{10}x\bigr)}\;dx
usando o método de Simpson 1/3 com m=4. O conteúdo é aplicação de regra de quadratura para aproximar integrais definidas. Precisamos determinar o passo h, os pontos x_i, avaliar o integrando
g(x)=x\,\sqrt{1 + \pi^{2}\,\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{10}x\bigr)}
e então aplicar a fórmula de Simpson.

Passo 2

Note que g(x) é função ímpar, pois
\sqrt{1 + \pi^{2}\,\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{10}(-x)\bigr)} =\sqrt{1 + \pi^{2}\,\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{10}x\bigr)}
é par e multiplica x, que é ímpar. Portanto
\int_{-5}^{5} g(x)\,dx = 0.

Passo 3

Mesmo aplicando Simpson 1/3 com h=\frac{5-(-5)}{4}=2{,}5 e pontos x_0=-5,x_1=-2{,}5,x_2=0,x_3=2{,}5,x_4=5, temos
\int_{-5}^{5} g(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl[g(x_0)+4g(x_1)+2g(x_2)+4g(x_3)+g(x_4)\bigr]=0
por cancelamento par/ímpar dos termos. Logo
S = 2\pi \cdot 0 = 0.

Resposta

S = 0

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