Uma v.a. X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10. Considere uma amostral de 16 elementos retirada dessa população. Calcule a probabilidade de que esta média amostral seja maior que 95 e menor que 98.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
  • A variável aleatória população X tem distribuição normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=10. Ou seja, X\sim N\!\left(100,\,10^{2}\right).
  • Foi retirada uma amostra de tamanho n=16.
  • A estatística de interesse é a média amostral \overline{X} dessa amostra.
  • O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que a média amostral esteja entre 95 e 98, isto é, encontrar
\mathbb{P}\bigl(95<\overline{X}<98\bigr).

Passo 2

Qual é a distribuição de \overline{X}? Aqui é importante saber uma propriedade básica da média amostral.
  • Se a população X é normal, então a média amostral \overline{X} também tem distribuição normal (exatamente), com média igual à média da população e variância igual à variância da população dividida por n.
  • Formalmente:
\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
  • Explicando as letras:
    • \mu é a média da população (aqui \mu=100).
    • \sigma^{2} é a variância da população (aqui \sigma=10 então \sigma^{2}=100).
    • n é o tamanho da amostra (aqui n=16).

Passo 3

Calcular o desvio-padrão da média amostral (erro padrão).
  • O desvio-padrão de \overline{X} é
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Substituindo \sigma=10 e n=16:
\sigma_{\overline{X}}=\frac{10}{\sqrt{16}}=\frac{10}{4}=2{,}5.

Passo 4

Padronizar a variável para usar a tabela normal padrão.
  • Definimos a variável padronizada
Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{\overline{X}-100}{2{,}5},
que segue Z\sim N(0,1).
  • Agora transformamos os limites 95 e 98 para a escala Z:
z_{1}=\frac{95-100}{2{,}5}=\frac{-5}{2{,}5}=-2{,}0, \qquad z_{2}=\frac{98-100}{2{,}5}=\frac{-2}{2{,}5}=-0{,}8.
  • Então a probabilidade pedida vira
\mathbb{P}\bigl(95<\overline{X}<98\bigr)=\mathbb{P}\bigl(-2{,}0<Z<-0{,}8\bigr).

Passo 5

Calcular a probabilidade usando a função de distribuição da normal padrão.
  • Denotando por \Phi(z) a função de distribuição acumulada da normal padrão, temos
\mathbb{P}\bigl(-2{,}0<Z<-0{,}8\bigr)=\Phi(-0{,}8)-\Phi(-2{,}0).
  • Usando a simetria da normal, \Phi(-a)=1-\Phi(a). Então podemos usar valores positivos das tabelas:
    • \Phi(0{,}8)\approx0{,}7881446.
    • \Phi(2{,}0)\approx0{,}9772499.
  • Logo
\Phi(-0{,}8)=1-\Phi(0{,}8)\approx1-0{,}7881446=0{,}2118554,
\Phi(-2{,}0)=1-\Phi(2{,}0)\approx1-0{,}9772499=0{,}0227501.
  • Subtraindo:
\mathbb{P}\bigl(95<\overline{X}<98\bigr)\approx0{,}2118554-0{,}0227501=0{,}1891053.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final.
  • A probabilidade obtida é aproximadamente 0{,}1891, ou seja cerca de 18{,}91\%.
  • Em prova sem calculadora normalmente basta mostrar a padronização e consultar tabela de Z; se usar calculadora, pode obter direto os valores de \Phi.

Resposta

0{,}1891

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