Considere uma amostra de 56 elementos retirada de uma população cuja média amostral é 100 e com desvio padrão amostral 10. Com base nos dados, calcule um intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional, usando uma amostra com as seguintes informações:
  • tamanho da amostra: n=56;
  • média amostral: \bar{x}=100;
  • desvio padrão amostral: s=10.
A pergunta é: construir o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional com esses dados.

Passo 2

Qual fórmula usar? Quando a variância populacional é desconhecida (aqui só temos s, o desvio amostral) usa-se o intervalo baseado na distribuição t de Student. A fórmula geral do intervalo de confiança para a média é
\text{IC}_{1-\alpha}=\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=100).
  • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, tal que a cauda superior tem área \alpha/2.
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=10).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=56).
  • \alpha é o complemento do nível de confiança: para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (a parte \dfrac{s}{\sqrt{n}}):
\sqrt{n}=\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot 14}=2\sqrt{14}\approx 2\cdot 3,741657\approx 7,483314.
Portanto
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{56}}\approx\frac{10}{7,483314}\approx 1,336306.
Arredondando razoavelmente: \dfrac{s}{\sqrt{n}}\approx 1,3363.

Passo 4

Determinar o t crítico: para nível de confiança 95\% temos \alpha/2=0,025 e graus de liberdade n-1=55. Peguei o valor de t_{0,025,55} em uma tabela de Student:
t_{0,025,55}\approx 2,0049.

Passo 5

Calcular a margem de erro: multiplicar o t crítico pelo erro padrão
\text{margem}=t_{0,025,55}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,0049\cdot 1,336306\approx 2,676.
Assim o intervalo de confiança fica
\bar{x}\pm\text{margem}=100\pm 2,676.

Passo 6

Calcular os extremos do intervalo:
\text{limite inferior}=100-2,676\approx 97,324, \qquad \text{limite superior}=100+2,676\approx 102,676.
Arredondando para duas casas decimais (forma prática e comum em provas):
\text{IC de }95\% \approx (97,32,\\\ 102,68).

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: isso significa que, com base nessa amostra, pode-se ter 95\% de confiança de que a média populacional está entre aproximadamente 97,32 e 102,68. Tá indo bem — esse é o procedimento padrão: calcular o erro padrão, obter t pela tabela e montar o intervalo.

Resposta

\displaystyle (97,32,\\\ 102,68)

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