( 2,5 pontos) Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 16 litros por 100 km , com desvio padrão de 12,1 litro. Uma revista especializada decide testar essa afirmação e analisa 50 carros dessa marca, obtendo um consumo médio de 17,4 litros por 100 km . Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, teste a hipótese nula de que \mathrm{m}=16, em face da hipótese alternativa de que m é diferente de 16 , adotando o nível de significância de 0,06.

Passo 1

O enunciado pede que se faça um teste de hipótese para verificar a afirmação da fábrica sobre o consumo médio. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • O que foi pedido:
    • Testar a hipótese nula de que a média do consumo é \mu = 16 litros/100 km contra a hipótese alternativa de que \mu \neq 16, com nível de significância \alpha = 0,06.
    • Usar os dados da amostra para decidir se rejeita ou não a hipótese nula.
  • Informações fornecidas:
    • Consumo médio anunciado (hipótese nula): \mu_0 = 16.
    • Desvio padrão populacional (informado pela fábrica): \sigma = 12,1 litros.
    • Tamanho da amostra: n = 50.
    • Média amostral obtida pela revista: \bar{x} = 17,4 litros/100 km.
    • Pressuposto do enunciado: consumo segue distribuição normal.

Passo 2

Escolher o teste e escrever as hipóteses. Explicação didática rápida do porquê do teste escolhido.
  • Hipóteses: H_0: \mu = 16
H_1: \mu \neq 16
É um teste bilateral (porque H_1 é “ \neq”).
  • Por que usar o teste z (em vez do t)?
    • O teste z para média é apropriado quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido. Aqui o enunciado deu \sigma = 12,1.
    • Além disso, a amostra tem tamanho n = 50, que é razoavelmente grande, então mesmo se não tivéssemos \sigma conhecido poderíamos usar aproximação, mas como \sigma foi informado, usamos o z.
    • A estatística de teste z compara a distância entre a média amostral \bar{x} e o valor proposto \mu_0 em unidades do erro padrão.
  • Fórmula da estatística de teste: explicando cada termo
    Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
    onde
    • \bar{X} é a média amostral (aqui \bar{x} = 17,4),
    • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui \mu_0 = 16),
    • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma = 12,1),
    • n é o tamanho da amostra (aqui n = 50),
    • \sigma / \sqrt{n} é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral costuma oscilar).

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (passo a passo).
  • Primeiro a raiz quadrada de n:
    \sqrt{n} = \sqrt{50} \approx 7{,}0710678
  • Agora o erro padrão:
    \text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12{,}1}{\sqrt{50}} = \frac{12{,}1}{7{,}0710678} \approx 1{,}7119ã
    (arredondei para quatro casas decimais: 1{,}7119).

Passo 4

Calcular a estatística de teste Z com a fórmula e os valores numéricos.
  • Diferença entre média amostral e hipótese:
    \bar{x} - \mu_0 = 17{,}4 - 16 = 1{,}4
  • Estatística de teste:
    Z = \frac{1{,}4}{1{,}7119} \approx 0{,}8177 \approx 0{,}818

Passo 5

Calcular o p-valor e/ou comparar com valores críticos. Explicação de como obter o p-valor.
  • Como é um teste bilateral, o p-valor é
    \text{p-valor} = 2\big(1 - \Phi(|Z|)\big),
    onde \Phi é a função de distribuição cumulativa da normal padrão.
  • Para Z \approx 0{,}8177, consultando tabela da normal padrão ou calculadora:
    \Phi(0{,}8177) \approx 0{,}7932
    (valor aproximado; em tabelas pode aparecer como 0{,}793 ou 0{,}7933, usamos 0{,}7932 como aproximação).
  • Então
    1 - \Phi(0{,}8177) \approx 1 - 0{,}7932 = 0{,}2068
\text{p-valor} \approx 2 \times 0{,}2068 = 0{,}4136 \approx 0{,}414
  • Alternativa (regra dos valores críticos): para \alpha = 0{,}06 e teste bilateral, cada cauda tem \alpha/2 = 0{,}03. O quantil correspondente é z_{1-\alpha/2} = z_{0{,}97} \approx 1{,}8808 \approx 1{,}881.Assim a região crítica é |Z| > 1{,}881. Nosso |Z| = 0{,}818 < 1{,}881, portanto não cai na região crítica.

Passo 6

Decisão do teste e interpretação em linguagem simples e motivadora.
  • Comparando p-valor com \alpha:
    \text{p-valor} \approx 0{,}414 > \alpha = 0{,}06,
    logo não rejeitamos H_0.
  • Comparando com o critério dos valores críticos: |Z| = 0{,}818 < 1{,}881, também indica não rejeitar H_0.
  • Interpretação concreta: com base na amostra de 50 carros (média 17{,}4 e desvio populacional informado 12{,}1), não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância 6\%, para concluir que o consumo médio difere de 16 litros/100 km. Em outras palavras: a diferença observada na amostra pode ser explicada por variação amostral aleatória.
  • Observação encorajadora: isso não prova que a fábrica esteja certa — apenas diz que, com esses dados e com esse nível de exigência ( \alpha = 0{,}06), não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação.

Resposta

Não rejeitar H_0. Estatística de teste Z \approx 0{,}818. p-valor \approx 0{,}414. Como \text{p-valor} > 0{,}06, não há evidência significativa para concluir que \mu \neq 16.

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