( 2,5 pontos) Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 16 litros por 100 km , com desvio padrão de 12,1 litro. Uma revista especializada decide testar essa afirmação e analisa 50 carros dessa marca, obtendo um consumo médio de 17,4 litros por 100 km . Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, teste a hipótese nula de que
, em face da hipótese alternativa de que m é diferente de 16 , adotando o nível de significância de 0,06.
Passo 1
O enunciado pede que se faça um teste de hipótese para verificar a afirmação da fábrica sobre o consumo médio. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
-
O que foi pedido:
- Testar a hipótese nula de que a média do consumo é
litros/100 km contra a hipótese alternativa de que , com nível de significância . - Usar os dados da amostra para decidir se rejeita ou não a hipótese nula.
- Testar a hipótese nula de que a média do consumo é
-
Informações fornecidas:
- Consumo médio anunciado (hipótese nula):
. - Desvio padrão populacional (informado pela fábrica):
litros. - Tamanho da amostra:
. - Média amostral obtida pela revista:
litros/100 km. - Pressuposto do enunciado: consumo segue distribuição normal.
- Consumo médio anunciado (hipótese nula):
Passo 2
Escolher o teste e escrever as hipóteses. Explicação didática rápida do porquê do teste escolhido.
- Hipóteses:
É um teste bilateral (porque
é “
”).
-
Por que usar o teste z (em vez do t)?
- O teste z para média é apropriado quando o desvio padrão populacional
é conhecido. Aqui o enunciado deu . - Além disso, a amostra tem tamanho
, que é razoavelmente grande, então mesmo se não tivéssemos conhecido poderíamos usar aproximação, mas como foi informado, usamos o z. - A estatística de teste z compara a distância entre a média amostral
e o valor proposto em unidades do erro padrão.
- O teste z para média é apropriado quando o desvio padrão populacional
-
Fórmula da estatística de teste: explicando cada termoonde
-
é a média amostral (aqui ), -
é a média sob (aqui ), -
é o desvio padrão populacional (aqui ), -
é o tamanho da amostra (aqui ), -
é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral costuma oscilar).
-
Passo 3
Calcular o erro padrão da média (passo a passo).
-
Primeiro a raiz quadrada de
: -
Agora o erro padrão:(arredondei para quatro casas decimais:
).
Passo 4
Calcular a estatística de teste
com a fórmula e os valores numéricos.
-
Diferença entre média amostral e hipótese:
-
Estatística de teste:
Passo 5
Calcular o p-valor e/ou comparar com valores críticos. Explicação de como obter o p-valor.
-
Como é um teste bilateral, o p-valor éonde
é a função de distribuição cumulativa da normal padrão. -
Para
, consultando tabela da normal padrão ou calculadora: (valor aproximado; em tabelas pode aparecer comoou , usamos como aproximação). -
Então
- Alternativa (regra dos valores críticos): para
e teste bilateral, cada cauda tem . O quantil correspondente é Assim a região crítica é . Nosso , portanto não cai na região crítica.
Passo 6
Decisão do teste e interpretação em linguagem simples e motivadora.
-
Comparando p-valor com
: logo não rejeitamos. -
Comparando com o critério dos valores críticos:
, também indica não rejeitar . -
Interpretação concreta: com base na amostra de
carros (média e desvio populacional informado ), não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância , para concluir que o consumo médio difere de litros/100 km. Em outras palavras: a diferença observada na amostra pode ser explicada por variação amostral aleatória. -
Observação encorajadora: isso não prova que a fábrica esteja certa — apenas diz que, com esses dados e com esse nível de exigência (
), não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação.
Resposta
Não rejeitar
. Estatística de teste
. p-valor
. Como
, não há evidência significativa para concluir que
.