( 2,5 pontos) Se você deseja estar 95 \% confiante de estimar a média aritmética da população, com uma amplitude de intervalo de no máximo 10, e se, caso o desvio-padrão seja considerado igual a 15, calcule o tamanho de amostra que se faz necessário.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a média populacional com certas especificações. As informações dadas são:
  • Nível de confiança: 95\%.
  • Amplitude máxima do intervalo de confiança: 10.
  • Desvio-padrão populacional (assumido conhecido): \sigma = 15.
Pergunta a responder: qual deve ser o tamanho da amostra n para garantir que o intervalo de confiança tenha largura (amplitude) no máximo 10 com 95\% de confiança?
Observação importante que vou usar: por "amplitude do intervalo de no máximo 10" entende-se a largura total do intervalo de confiança. Como o intervalo em torno da média tem forma \bar X \pm E, a largura total é 2E. Portanto, a condição "amplitude \le 10" implica que o erro máximo (meia-amplitude, margem de erro) deve satisfazer E \le 5. Vou usar E = 5 para projetar o tamanho mínimo de amostra.

Passo 2

Conceito e fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido:
Para amostras de uma população com desvio-padrão populacional conhecido, o intervalo de confiança de nível de confiança 1-\alpha para a média populacional \mu é dado por
\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar X é a média amostral (valor central do intervalo).
  • \mu é a média populacional desconhecida que queremos estimar.
  • \sigma é o desvio-padrão da população (conhecido neste problema).
  • n é o tamanho da amostra (que queremos encontrar).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2; para 95\% de confiança temos \alpha=0,05 e z_{0,025} é o valor correspondente.
A margem de erro (meia-amplitude) do intervalo é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Formulação do problema em termos da margem de erro:
Queremos que a meia-amplitude E seja no máximo 5. Assim, deve valer
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 5.
Isolando n nessa desigualdade (ou igualando para achar o mínimo necessário) obtemos a fórmula do tamanho de amostra:
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.
Aqui:
  • z_{\alpha/2} depende do nível de confiança;
  • \sigma é 15;
  • E é 5.

Passo 4

Determinar z_{\alpha/2} para 95\% de confiança:
Para nível de confiança 95\% tem-se \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. O quantil da normal padrão correspondente é aproximadamente
z_{0,025} \approx 1,96.

Passo 5

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo:
Calcular o numerador:
z_{0,025}\,\sigma = 1,96 \times 15 = 29,4.
Dividir por E:
\frac{29,4}{5} = 5,88.
Elevar ao quadrado:
n = (5,88)^{2} = 34,5744.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final:
O valor de n obtido é 34,5744. Como o tamanho de amostra deve ser um número inteiro e é preciso garantir que a margem de erro não ultrapasse o valor desejado, deve-se sempre arredondar para cima (ceiling). Portanto, o menor n inteiro que satisfaz a condição é
n = 35.

Passo 7

Comentários finais e hipóteses por trás do cálculo (dicas para a prova):
  • Usei a aproximação z_{0,025}=1,96; às vezes a prova aceita 2,00 para contas rápidas (isso daria n\approx36), mas a escolha correta e mais precisa é 1,96.
  • O cálculo assume que \sigma é conhecido ou que a amostra será grande o suficiente para que a aproximação normal (Teorema central do limite) seja válida. Se \sigma fosse desconhecido e a amostra pequena, deveria usar t-de Student, o que complicaria pois t depende de n e exige iteração.
  • Dica prática: sempre identifique se a amplitude dada é a largura total ou a meia-amplitude. Se o enunciado disser “margem de erro” ou “meia-amplitude”, use direto E; se disser “amplitude” ou “largura”, divida por 2 para obter E.

Resposta

n = 35

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