( 2,5 pontos) Se você deseja estar
confiante de estimar a média aritmética da população, com uma amplitude de intervalo de no máximo 10, e se, caso o desvio-padrão seja considerado igual a 15, calcule o tamanho de amostra que se faz necessário.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a média populacional com certas especificações. As informações dadas são:
- Nível de confiança:
. - Amplitude máxima do intervalo de confiança:
. - Desvio-padrão populacional (assumido conhecido):
.
Pergunta a responder: qual deve ser o tamanho da amostra
para garantir que o intervalo de confiança tenha largura (amplitude) no máximo
com
de confiança?
Observação importante que vou usar: por "amplitude do intervalo de no máximo
" entende-se a largura total do intervalo de confiança. Como o intervalo em torno da média tem forma
, a largura total é
. Portanto, a condição "amplitude
" implica que o erro máximo (meia-amplitude, margem de erro) deve satisfazer
. Vou usar
para projetar o tamanho mínimo de amostra.
Passo 2
Conceito e fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão populacional
é conhecido:
Para amostras de uma população com desvio-padrão populacional conhecido, o intervalo de confiança de nível de confiança
para a média populacional
é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (valor central do intervalo). -
é a média populacional desconhecida que queremos estimar. -
é o desvio-padrão da população (conhecido neste problema). -
é o tamanho da amostra (que queremos encontrar). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que ; para de confiança temos e é o valor correspondente.
A margem de erro (meia-amplitude) do intervalo é
Passo 3
Formulação do problema em termos da margem de erro:
Queremos que a meia-amplitude
seja no máximo
. Assim, deve valer
Isolando
nessa desigualdade (ou igualando para achar o mínimo necessário) obtemos a fórmula do tamanho de amostra:
Aqui:
-
depende do nível de confiança; -
é ; -
é .
Passo 4
Determinar
para
de confiança:
Para nível de confiança
tem-se
e
. O quantil da normal padrão correspondente é aproximadamente
Passo 5
Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo:
Calcular o numerador:
Dividir por
:
Elevar ao quadrado:
Passo 6
Arredondamento e interpretação final:
O valor de
obtido é
. Como o tamanho de amostra deve ser um número inteiro e é preciso garantir que a margem de erro não ultrapasse o valor desejado, deve-se sempre arredondar para cima (ceiling). Portanto, o menor
inteiro que satisfaz a condição é
Passo 7
Comentários finais e hipóteses por trás do cálculo (dicas para a prova):
- Usei a aproximação
; às vezes a prova aceita para contas rápidas (isso daria ), mas a escolha correta e mais precisa é . - O cálculo assume que
é conhecido ou que a amostra será grande o suficiente para que a aproximação normal (Teorema central do limite) seja válida. Se fosse desconhecido e a amostra pequena, deveria usar -de Student, o que complicaria pois depende de e exige iteração. - Dica prática: sempre identifique se a amplitude dada é a largura total ou a meia-amplitude. Se o enunciado disser “margem de erro” ou “meia-amplitude”, use direto
; se disser “amplitude” ou “largura”, divida por para obter .