Tem-se uma Fábrica. Parafusos são produzidos pelas máquinas 1 , 2 e 3, que fabricam respectivamente, 20 \%, 70 \% e 10 \% da produção total. Sabe-se que estas máquinas fabricam 10 \%, 5 \%, e 20 \% de peças defeituosas. Uma peça é escolhida ao acaso na produção total. Qual a probabilidade de ela ser defeituosa?
Resp.: 3/40 ou 7,5 \%.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa?”
Informações dadas:
  • A máquina 1 produz 20\% da produção total e tem taxa de peças defeituosas de 10\%.
  • A máquina 2 produz 70\% da produção total e tem taxa de peças defeituosas de 5\%.
  • A máquina 3 produz 10\% da produção total e tem taxa de peças defeituosas de 20\%.
    Esses são todos os dados que precisamos para calcular a probabilidade procurada.

Passo 2

Definamos eventos para deixar tudo claro:
  • M_1: peça veio da máquina 1.
  • M_2: peça veio da máquina 2.
  • M_3: peça veio da máquina 3.
  • D: peça é defeituosa.
    Queremos P(D), a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ser defeituosa.

Passo 3

Principle usado (explicação didática): quando temos várias maneiras disjuntas de acontecer um evento (a peça pode vir de M_1, M_2 ou M_3), a probabilidade do evento D é a soma das probabilidades conjuntas de cada caminho. A probabilidade conjunta de “vir da máquina i e ser defeituosa” é dada por
P(M_i\cap D)=P(M_i)\,P(D\mid M_i).
Aqui P(M_i) é a chance de a peça vir da máquina i e P(D\mid M_i) é a chance de ser defeituosa dado que veio da máquina i. Essa fórmula vem da definição de probabilidade condicional.

Passo 4

Aplicando a soma das probabilidades disjuntas (teorema da probabilidade total), temos a fórmula
P(D)=P(M_1)P(D\mid M_1)+P(M_2)P(D\mid M_2)+P(M_3)P(D\mid M_3).
Agora vamos substituir os valores fornecidos no enunciado.

Passo 5

Converter percentuais em frações facilita cálculo sem calculadora:
P(M_1)=20\%= \tfrac{1}{5},\quad P(D\mid M_1)=10\%= \tfrac{1}{10},
P(M_2)=70\%= \tfrac{7}{10},\quad P(D\mid M_2)=5\%= \tfrac{1}{20},
P(M_3)=10\%= \tfrac{1}{10},\quad P(D\mid M_3)=20\%= \tfrac{1}{5}.
Calcule cada termo:
P(M_1)P(D\mid M_1)=\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{10}=\tfrac{1}{50},
P(M_2)P(D\mid M_2)=\tfrac{7}{10}\cdot\tfrac{1}{20}=\tfrac{7}{200},
P(M_3)P(D\mid M_3)=\tfrac{1}{10}\cdot\tfrac{1}{5}=\tfrac{1}{50}.
Somando tudo (usar denominador comum 200):
P(D)=\tfrac{1}{50}+\tfrac{7}{200}+\tfrac{1}{50}=\tfrac{4}{200}+\tfrac{7}{200}+\tfrac{4}{200}=\tfrac{15}{200}=\tfrac{3}{40}.
Como porcentagem, \tfrac{3}{40}=0,075=7,5\%. (Dica para a prova: trabalhar com frações às vezes é mais seguro que com decimais.)

Resposta

\tfrac{3}{40} ou 7,5\%

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