Numa fábrica, parafusos são produzidos pelas máquinas 1 , 2 e 3 , que produzem, respectivamente, 20 \%, 70 \% e 10 \%. Sabe-se que estas máquinas produzem 10 \%, 5 \% e 20 \% de peças defeituosas. Uma peça é escolhida ao acaso na produção total. Se a peça escolhida for defeituosa, qual a probabilidade de ela ser da máquina n. { }^{2} ?
Resp.: 35/75 ou 46 ; 66 \%.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dado:
  • A produção é feita por três máquinas: máquina 1, máquina 2 e máquina 3.
  • Frações da produção de cada máquina:
    P(M_1)=20\%, P(M_2)=70\%, P(M_3)=10\%.
  • Taxas de peças defeituosas por máquina:
    P(D\mid M_1)=10\%, P(D\mid M_2)=5\%, P(D\mid M_3)=20\%.
Pedido:
  • Uma peça é escolhida ao acaso e ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que essa peça venha da máquina 2? Ou seja, queremos P(M_2\mid D).

Passo 2

Modelagem dos eventos e tradução das porcentagens para probabilidades em notação que usaremos.
Definimos os eventos:
  • M_1: peça veio da máquina 1.
  • M_2: peça veio da máquina 2.
  • M_3: peça veio da máquina 3.
  • D: peça é defeituosa.
As probabilidades dadas (convertidas para decimais com vírgula, como é usual em português):
  • P(M_1)=0{,}20
  • P(M_2)=0{,}70
  • P(M_3)=0{,}10
As probabilidades condicionais de defeito:
  • P(D\mid M_1)=0{,}10
  • P(D\mid M_2)=0{,}05
  • P(D\mid M_3)=0{,}20
O que queremos encontrar é P(M_2\mid D).

Passo 3

Apresentando a fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando queremos a probabilidade de uma causa M_i dado que observamos um efeito D, usamos o Teorema de Bayes:
P(M_i\mid D)=\frac{P(M_i)\,P(D\mid M_i)}{P(D)}.
Aqui:
  • P(M_i) é a probabilidade a priori da causa M_i (antes de sabermos que a peça é defeituosa).
  • P(D\mid M_i) é a probabilidade de observarmos o defeito se a peça veio da máquina M_i.
  • P(D) é a probabilidade total de observar uma peça defeituosa na produção (ou seja, a evidência).
Para aplicar Bayes precisamos primeiro calcular P(D). Esse P(D) é obtido pela regra da probabilidade total:
P(D)=\sum_{i=1}^{3} P(M_i)\,P(D\mid M_i)=P(M_1)P(D\mid M_1)+P(M_2)P(D\mid M_2)+P(M_3)P(D\mid M_3).
Explicando: pensamos que a peça defeituosa pode ter vindo de qualquer uma das máquinas; cada termo multiplica a probabilidade de a peça vir da máquina pelo risco dessa máquina produzir defeitos, e somamos as possibilidades (porque os eventos "veio de M_i" são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço).

Passo 4

Calcular P(D) passo a passo (contas claras para fazer sem calculadora).
Substituindo os números:
P(D)=0{,}20\cdot 0{,}10 + 0{,}70\cdot 0{,}05 + 0{,}10\cdot 0{,}20.
Fazendo cada multiplicação:
0{,}20\cdot 0{,}10 = 0{,}02,
0{,}70\cdot 0{,}05 = 0{,}035,
0{,}10\cdot 0{,}20 = 0{,}02.
Somando:
P(D)=0{,}02 + 0{,}035 + 0{,}02 = 0{,}075.
Interpretação: a probabilidade de uma peça sorteada ser defeituosa é 0{,}075, ou seja, 7{,}5\%.

Passo 5

Calcular o numerador de Bayes para a máquina 2 (que é P(M_2)P(D\mid M_2)).
P(M_2)P(D\mid M_2)=0{,}70\cdot 0{,}05=0{,}035.
Isso representa a contribuição da máquina 2 para a produção de peças defeituosas.

Passo 6

Aplicar Bayes e simplificar a fração.
Usando a fórmula:
P(M_2\mid D)=\frac{P(M_2)P(D\mid M_2)}{P(D)}=\frac{0{,}035}{0{,}075}.
Multiplicando numerador e denominador por 1000 para obter inteiros (opcional, só para ver a fração):
\frac{0{,}035}{0{,}075}=\frac{35}{75}.
Simplificando dividindo por 5:
\frac{35}{75}=\frac{7}{15}.
Convertendo para decimal:
\frac{7}{15}=0{,}466\overline{6}\\ (\text{ou seja }0{,}4666\ldots).
Em porcentagem:
0{,}466\overline{6}\times 100\%=46{,}\overline{6}\%.
Então a probabilidade pedida é \dfrac{7}{15}, que equivale a aproximadamente 46{,}6\%.

Passo 7

Dica prática para a prova (guardada como método passo a passo que dá sempre certo):
  1. Identifique as causas e os dados: escreva P(M_i) e P(D\mid M_i).
  2. Calcule P(D) pela probabilidade total somando P(M_i)P(D\mid M_i).
  3. Use Bayes: P(M_k\mid D)=\dfrac{P(M_k)P(D\mid M_k)}{P(D)}.
  4. Simplifique a fração e converta para porcentagem se pedirem.
Mantenha as contas organizadas (multiplicações primeiro, soma depois) e você resolve isso rapidinho na prova. Força — você consegue!

Resposta

\dfrac{35}{75}=\dfrac{7}{15}\approx 46{,}\overline{6}\%

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