Numa fábrica, parafusos são produzidos pelas máquinas 1 , 2 e 3 , que produzem, respectivamente,
,
e
. Sabe-se que estas máquinas produzem
e
de peças defeituosas. Uma peça é escolhida ao acaso na produção total. Se a peça escolhida for defeituosa, qual a probabilidade de ela ser da máquina n.
?
Resp.: 35/75 ou
.
Resp.: 35/75 ou
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dado:
- A produção é feita por três máquinas: máquina 1, máquina 2 e máquina 3.
- Frações da produção de cada máquina:
, , . - Taxas de peças defeituosas por máquina:
, , .
Pedido:
- Uma peça é escolhida ao acaso e ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que essa peça venha da máquina 2? Ou seja, queremos
.
Passo 2
Modelagem dos eventos e tradução das porcentagens para probabilidades em notação que usaremos.
Definimos os eventos:
-
: peça veio da máquina 1. -
: peça veio da máquina 2. -
: peça veio da máquina 3. -
: peça é defeituosa.
As probabilidades dadas (convertidas para decimais com vírgula, como é usual em português):
As probabilidades condicionais de defeito:
O que queremos encontrar é
.
Passo 3
Apresentando a fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando queremos a probabilidade de uma causa
dado que observamos um efeito
, usamos o Teorema de Bayes:
Aqui:
-
é a probabilidade a priori da causa (antes de sabermos que a peça é defeituosa). -
é a probabilidade de observarmos o defeito se a peça veio da máquina . -
é a probabilidade total de observar uma peça defeituosa na produção (ou seja, a evidência).
Para aplicar Bayes precisamos primeiro calcular
. Esse
é obtido pela regra da probabilidade total:
Explicando: pensamos que a peça defeituosa pode ter vindo de qualquer uma das máquinas; cada termo multiplica a probabilidade de a peça vir da máquina pelo risco dessa máquina produzir defeitos, e somamos as possibilidades (porque os eventos "veio de
" são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço).
Passo 4
Calcular
passo a passo (contas claras para fazer sem calculadora).
Substituindo os números:
Fazendo cada multiplicação:
Somando:
Interpretação: a probabilidade de uma peça sorteada ser defeituosa é
, ou seja,
.
Passo 5
Calcular o numerador de Bayes para a máquina 2 (que é
).
Isso representa a contribuição da máquina 2 para a produção de peças defeituosas.
Passo 6
Aplicar Bayes e simplificar a fração.
Usando a fórmula:
Multiplicando numerador e denominador por
para obter inteiros (opcional, só para ver a fração):
Simplificando dividindo por
:
Convertendo para decimal:
Em porcentagem:
Então a probabilidade pedida é
, que equivale a aproximadamente
.
Passo 7
Dica prática para a prova (guardada como método passo a passo que dá sempre certo):
- Identifique as causas e os dados: escreva
e . - Calcule
pela probabilidade total somando . - Use Bayes:
. - Simplifique a fração e converta para porcentagem se pedirem.
Mantenha as contas organizadas (multiplicações primeiro, soma depois) e você resolve isso rapidinho na prova. Força — você consegue!