Tem-se um isolante oco, com raio interno
e raio externo
, carregado com a carga
uniformemente distribuída. Obtenha o campo elétrico para todos os valores de
, onde
é a distância do centro da casca até o ponto em que se mede o campo elétrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um isolante oco, que é como uma casquinha, com um raio interno $ R_{1} $ e um raio externo $ R_{2} $. Essa casquinha está carregada com uma carga $ Q $ distribuída de forma uniforme. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico $ E $ em qualquer ponto que a gente escolher a uma distância $ r $ do centro dessa casquinha. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta super útil na eletrostática para calcular campos elétricos em situações com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico. O campo elétrico $ E $ em um ponto no espaço nos diz a força que uma carga de teste sofreria nesse ponto. No caso, queremos encontrar $ E $ em diferentes regiões ao redor da casquinha.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que a passagem do campo elétrico através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é proporcional à carga total $ Q_{enc} $ dentro dessa superfície. Matematicamente, ela é escrita como:
Onde:
- $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} $ é a integral de superfície do campo elétrico.
- $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície.
- $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos analisar três casos diferentes para $ r $:
- Para $ r < R_{1} $: Estamos dentro da parte oca da casquinha.
- Para $ R_{1} < r < R_{2} $: Estamos dentro do material isolante da casquinha.
- Para $ r > R_{2} $: Estamos fora da casquinha.
Passo 5
Caso 1: $ r < R_{1} $
Aqui, a superfície gaussiana é uma esfera com raio $ r $ menor que $ R_{1} $. Como toda a carga está distribuída no material da casquinha (entre $ R_{1} $ e $ R_{2} $), não há carga dentro dessa superfície gaussiana. Portanto, $ Q_{enc} = 0 $.
Aplicando a Lei de Gauss:
Caso 2: $ R_{1} < r < R_{2} $
Agora, a superfície gaussiana está dentro da casquinha. A carga está distribuída uniformemente, então a carga dentro da superfície gaussiana é proporcional ao volume.
A densidade de carga $ \rho $ é:
A carga encerrada $ Q_{enc} $ dentro de uma esfera de raio $ r $ é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Caso 3: $ r > R_{2} $
Aqui, a superfície gaussiana engloba toda a casquinha. Portanto, toda a carga $ Q $ está dentro da superfície gaussiana.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resposta
O campo elétrico $ E $ em função da distância $ r $ do centro da casquinha é dado por: