Prove, fazendo as contas, a relação de Stifel:
supondo
um real qualquer e
inteiro não-negativo.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade de Stifel
onde
é um número real qualquer e
é um inteiro não‑negativo.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
(qualquer real); -
e ; - A definição de coeficiente binomial a usar é a extensão usual para
real e inteiro não‑negativo:
com a convenção
.
Passo 2
Vou explicar a definição que vou usar (porque
pode ser real): para inteiro
,
Aqui o numerador é um produto de
fatores decrescentes começando em
. Ex.: para
o numerador é
. O denominador
é o fatorial usual de um inteiro
, bem definido porque
é inteiro não‑negativo.
Passo 3
Escrevo explicitamente os dois termos do lado direito usando essa definição:
Para
:
Para
:
Passo 4
Coloco os dois termos com o mesmo denominador
. Para isso multiplico numerador e denominador de
por
:
Agora somo os dois termos com denominador comum:
Passo 5
Fatoro o produto comum
no numerador:
Simplifico a soma dentro do parêntese:
Portanto
Passo 6
Reescrevo o produto do numerador mostrando que ele é exatamente o produto que aparece na definição de
:
Assim obtenho exatamente a identidade desejada, para todo
e inteiro
.