Prove, fazendo as contas, a relação de Stifel:
\binom{n+1}{p+1}=\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}
supondo n um real qualquer e p inteiro não-negativo.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de Stifel
\binom{n+1}{p+1}=\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1},
onde n é um número real qualquer e p é um inteiro não‑negativo.
Informações dadas:
  • n\in\mathbb{R} (qualquer real);
  • p\in\mathbb{Z} e p\ge 0;
  • A definição de coeficiente binomial a usar é a extensão usual para n real e k inteiro não‑negativo:
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!},
com a convenção \binom{n}{0}=1.

Passo 2

Vou explicar a definição que vou usar (porque n pode ser real): para inteiro k\ge 0,
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Aqui o numerador é um produto de k fatores decrescentes começando em n. Ex.: para k=3 o numerador é n(n-1)(n-2). O denominador k! é o fatorial usual de um inteiro k, bem definido porque k é inteiro não‑negativo.

Passo 3

Escrevo explicitamente os dois termos do lado direito usando essa definição:
Para \binom{n}{p}:
\binom{n}{p}=\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!}.
Para \binom{n}{p+1}:
\binom{n}{p+1}=\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)(n-p)}{(p+1)!}.

Passo 4

Coloco os dois termos com o mesmo denominador (p+1)!. Para isso multiplico numerador e denominador de \binom{n}{p} por (p+1):
\binom{n}{p}=\frac{(p+1)\,n(n-1)\cdots(n-p+1)}{(p+1)!}.
Agora somo os dois termos com denominador comum:
\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1} = \frac{(p+1)\,n(n-1)\cdots(n-p+1)}{(p+1)!} + \frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)(n-p)}{(p+1)!}.

Passo 5

Fatoro o produto comum n(n-1)\cdots(n-p+1) no numerador:
\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1} = \frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)\big((p+1)+(n-p)\big)}{(p+1)!}.
Simplifico a soma dentro do parêntese:
(p+1)+(n-p)=n+1.
Portanto
\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1} = \frac{(n+1)\,n(n-1)\cdots(n-p+1)}{(p+1)!}.

Passo 6

Reescrevo o produto do numerador mostrando que ele é exatamente o produto que aparece na definição de \binom{n+1}{p+1}:
\frac{(n+1)\,n(n-1)\cdots(n-p+1)}{(p+1)!} = \frac{(n+1)(n+1-1)(n+1-2)\cdots\big(n+1-(p+1)+1\big)}{(p+1)!} = \binom{n+1}{p+1}.
Assim obtenho exatamente a identidade desejada, para todo n\in\mathbb{R} e inteiro p\ge 0.

Resposta

\displaystyle \binom{n+1}{p+1}=\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}

Exercícios relacionados