A Companhia de Seguros Security Ltda, analisou a frequência com que 500 segurados usaram o hospital, apresentando os resultados na tabela que segue:
Usa o hospital Sexo Total
Masculino Feminino
Sim 25 40 65
Não 225 210 435
Total 250 250 500
Sejam os eventos: \mathrm{A}= a pessoa segurada usa o hospital. \mathrm{B}= a pessoa segurada é do sexo masculino. \mathrm{C}=\mathrm{a} pessoa segurada é do sexo feminino. Determine: \mathrm{P}(\mathrm{A}), \mathrm{P}(\mathrm{B}), \mathrm{P}(\mathrm{C}), P(A \cap B), P(A \cap C), P(A \mid B) e P(A \mid C).

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com a frequência de 500 segurados, distribuídos por uso do hospital e sexo, e pede várias probabilidades. As perguntas que temos que responder são:
  • P(A) — probabilidade de a pessoa segurada usar o hospital.
  • P(B) — probabilidade de a pessoa segurada ser do sexo masculino.
  • P\text{(C)} — probabilidade de a pessoa segurada ser do sexo feminino.
  • P(A\cap B) — probabilidade de a pessoa usar o hospital e ser do sexo masculino.
  • P(A\cap C) — probabilidade de a pessoa usar o hospital e ser do sexo feminino.
  • P(A\mid B) — probabilidade de a pessoa usar o hospital sabendo que é do sexo masculino.
  • P(A\mid C) — probabilidade de a pessoa usar o hospital sabendo que é do sexo feminino.
As informações relevantes (retiradas da tabela) são os números de pessoas em cada célula:
  • Total de segurados: 500.
  • Usa o hospital e masculino: 25.
  • Usa o hospital e feminino: 40.
  • Total que usam o hospital: 65.
  • Total masculino: 250.
  • Total feminino: 250.

Passo 2

Vamos fixar a ideia básica que vamos usar: quando trabalhamos com uma amostra finita de N elementos e todos os elementos são equiprováveis (mesmo caso aqui), a probabilidade de um evento E é calculada como
P(E)=\frac{\text{número de casos favoráveis a }E}{\text{número total de casos}}.úáú
Aqui o número total de casos é N=500. Sempre que eu escrever um número (por exemplo 25 ou 250) eu estou usando o dado exatamente da tabela do enunciado.

Passo 3

Calcular P(A): evento A = “usa o hospital”. Favoráveis = total que usam o hospital = 65. Logo, pela fórmula:
P(A)=\frac{65}{500}.
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 5:
\frac{65}{500}=\frac{13}{100}.
Em forma decimal isso é 0,13.

Passo 4

Calcular P(B) e P\text{(C)}:
  • B = “sexo masculino”. Favoráveis = total masculino = 250. Então
P(B)=\frac{250}{500}=\frac{1}{2}=0,5.
  • C = “sexo feminino”. Favoráveis = total feminino = 250. Então
P\text{(C)}=\frac{250}{500}=\frac{1}{2}=0,5.

Passo 5

Agora vamos ao conceito de probabilidade conjunta (interseção). Para dois eventos X e Y, P(X\cap Y) é a probabilidade de ocorrerem os dois ao mesmo tempo; com contagens ela é
P(X\cap Y)=\frac{\text{número de casos favoráveis a ambos }X\text{ e }Y}{\text{número total}}.úáú
Usamos exatamente os valores da tabela para os “casos favoráveis a ambos”.

Passo 6

Calcular P(A\cap B): casos favoráveis = número de segurados que usam o hospital e são masculinos = 25. Então
P(A\cap B)=\frac{25}{500}.
Simplificando dividindo por 25:
\frac{25}{500}=\frac{1}{20}.
Em decimal isso é 0,05.

Passo 7

Calcular P(A\cap C): casos favoráveis = usa hospital e feminino = 40. Então
P(A\cap C)=\frac{40}{500}.
Simplificando dividindo por 20:
\frac{40}{500}=\frac{2}{25}.
Em decimal isso é 0,08.

Passo 8

Agora a probabilidade condicional. A definição que vamos usar é: para dois eventos X e Y com P(Y)>0,
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}.
Interpretação prática: P(X\mid Y) é a fração dos casos em Y que também satisfazem X. Em termos de contagens, isso é
P(X\mid Y)=\frac{\text{número que satisfaz }X\text{ e }Y}{\text{número que satisfaz }Y}.úú
Isso é útil na prova porque muitas vezes basta dividir contagens dentro da mesma linha/coluna da tabela.

Passo 9

Calcular P(A\mid B): usamos a versão por contagens (mais direta aqui): entre os 250 masculinos, 25 usam o hospital. Então
P(A\mid B)=\frac{25}{250}.
Simplificando dividindo por 25:
\frac{25}{250}=\frac{1}{10}=0,1.
Também dá o mesmo resultado usando a fórmula P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{1/20}{1/2}=\dfrac{1}{10}.

Passo 10

Calcular P(A\mid C): entre os 250 femininos, 40 usam o hospital. Então
P(A\mid C)=\frac{40}{250}.
Simplificando dividindo por 10:
\frac{40}{250}=\frac{4}{25}=0,16.

Resposta

P(A)=\dfrac{13}{100}=0,13
P(B)=\dfrac{1}{2}=0,5
P\text{(C)}=\dfrac{1}{2}=0,5
P(A\cap B)=\dfrac{1}{20}=0,05
P(A\cap C)=\dfrac{2}{25}=0,08
P(A\mid B)=\dfrac{1}{10}=0,1
P(A\mid C)=\dfrac{4}{25}=0,16

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