A Companhia de Seguros Security Ltda, analisou a frequência com que 500 segurados usaram o hospital, apresentando os resultados na tabela que segue:
Usa o hospital
Sexo
Total
Masculino
Feminino
Sim
25
40
65
Não
225
210
435
Total
250
250
500
Sejam os eventos:
a pessoa segurada usa o hospital.
a pessoa segurada é do sexo masculino.
pessoa segurada é do sexo feminino. Determine:
e
.
| Usa o hospital | Sexo | Total | |
| Masculino | Feminino | ||
| Sim | 25 | 40 | 65 |
| Não | 225 | 210 | 435 |
| Total | 250 | 250 | 500 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com a frequência de 500 segurados, distribuídos por uso do hospital e sexo, e pede várias probabilidades. As perguntas que temos que responder são:
-
— probabilidade de a pessoa segurada usar o hospital. -
— probabilidade de a pessoa segurada ser do sexo masculino. -
— probabilidade de a pessoa segurada ser do sexo feminino. -
— probabilidade de a pessoa usar o hospital e ser do sexo masculino. -
— probabilidade de a pessoa usar o hospital e ser do sexo feminino. -
— probabilidade de a pessoa usar o hospital sabendo que é do sexo masculino. -
— probabilidade de a pessoa usar o hospital sabendo que é do sexo feminino.
As informações relevantes (retiradas da tabela) são os números de pessoas em cada célula:
- Total de segurados:
. - Usa o hospital e masculino:
. - Usa o hospital e feminino:
. - Total que usam o hospital:
. - Total masculino:
. - Total feminino:
.
Passo 2
Vamos fixar a ideia básica que vamos usar: quando trabalhamos com uma amostra finita de
elementos e todos os elementos são equiprováveis (mesmo caso aqui), a probabilidade de um evento
é calculada como
Aqui o número total de casos é
. Sempre que eu escrever um número (por exemplo
ou
) eu estou usando o dado exatamente da tabela do enunciado.
Passo 3
Calcular
: evento
= “usa o hospital”. Favoráveis = total que usam o hospital =
. Logo, pela fórmula:
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por
:
Em forma decimal isso é
.
Passo 4
Calcular
e
:
-
= “sexo masculino”. Favoráveis = total masculino = . Então
-
= “sexo feminino”. Favoráveis = total feminino = . Então
Passo 5
Agora vamos ao conceito de probabilidade conjunta (interseção). Para dois eventos
e
,
é a probabilidade de ocorrerem os dois ao mesmo tempo; com contagens ela é
Usamos exatamente os valores da tabela para os “casos favoráveis a ambos”.
Passo 6
Calcular
: casos favoráveis = número de segurados que usam o hospital e são masculinos =
. Então
Simplificando dividindo por
:
Em decimal isso é
.
Passo 7
Calcular
: casos favoráveis = usa hospital e feminino =
. Então
Simplificando dividindo por
:
Em decimal isso é
.
Passo 8
Agora a probabilidade condicional. A definição que vamos usar é: para dois eventos
e
com
,
Interpretação prática:
é a fração dos casos em
que também satisfazem
. Em termos de contagens, isso é
Isso é útil na prova porque muitas vezes basta dividir contagens dentro da mesma linha/coluna da tabela.
Passo 9
Calcular
: usamos a versão por contagens (mais direta aqui): entre os
masculinos,
usam o hospital. Então
Simplificando dividindo por
:
Também dá o mesmo resultado usando a fórmula
.
Passo 10
Calcular
: entre os
femininos,
usam o hospital. Então
Simplificando dividindo por
: