Temos um Gerador síncrono trifásico de
, ligado em Y com uma reatância síncrona de
fase. Esse gerador é utilizado para alimentar um motor síncrono de
, f.p. 0.8 ad, ligado em Y, com uma reatância síncrona de
fase. A excitação do gerador é ajustada de modo a produzir uma tensão nominal nos terminais quando o motor estiver consumindo potência nominal com fator de potência unitário.
a) Nessas condições, apresente um diagrama fasorial para o sistema;
b) Qual será o novo valor da tensão nos terminais das máquinas se o fluxo do motor for aumentado em
;
a) Nessas condições, apresente um diagrama fasorial para o sistema;
b) Qual será o novo valor da tensão nos terminais das máquinas se o fluxo do motor for aumentado em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
-
Dados numéricos (peguei todos do enunciado):
- Tensão de linha nominal:
- Potência do gerador:
(não usaremos a potência aparente diretamente, só a tensão e reatância). - Frequência:
- Gerador ligado em
com reatância síncrona por fase - Motor síncrono ligado em
com potência mecânica (nominal) tensão (linha), e reatância síncrona por fase - O enunciado diz que a excitação do gerador foi ajustada de modo que a tensão nominal nos terminais (ou seja,
) ocorre quando o motor está consumindo a potência nominal com fator de potência unitário (essa é a condição inicial do item (a)). - Depois (item b) o fluxo (excitação) do motor é aumentado em
— isto significa que a magnitude da fem interna do motor por fase aumenta .
- Tensão de linha nominal:
-
O que o enunciado pede:
- (a) Apresentar um diagrama fasorial para o sistema nas condições descritas (motor consumindo
com e tensão nominal). - (b) Calcular o novo valor da tensão nos terminais das máquinas (tensão de linha) quando o fluxo do motor for aumentado em
, supondo que a excitação do gerador permanece como ajustada inicialmente e que o motor continua entregando a mesma potência mecânica nominal.
- (a) Apresentar um diagrama fasorial para o sistema nas condições descritas (motor consumindo
Passo 2
Explicação física e modelo simplificado que vamos usar (muito didático, passo-a-passo).
- Para máquinas síncronas, usamos o modelo por fase:
- A fem interna (induzida) por fase do gerador é
e do motor é - A relação fasorial por fase é, sem resistência de armadura (resistência desprezível), dada por
onde: -
é a fem interna por fase (phasor), -
é a tensão de terminais por fase (phasor), -
é a reatância síncrona por fase, -
é a corrente por fase (phasor), -
representa a rotação de (i.e., multiplicar por desloca um fasor em +90°).
- A fem interna (induzida) por fase do gerador é
- Observação sobre sinais: a equação acima vale como forma comum tanto para gerador quanto para motor; a direção do fluxo de potência será definida pelo sinal do ângulo relativo entre
e e pelo sinal da corrente. - Conversão tensão linha -> fase em conexão
: Iremos trabalhar por fase (mais simples e padrão).
Passo 3
Cálculo da condição inicial (item a): obtenção das grandezas por fase quando o motor consome
com fator de potência
e a tensão de terminais é nominal.
- Tensão por fase:
- Corrente por fase na condição inicial (potência trifásica
, fator de potência ): Calculando: Como a corrente está em fase com a tensão de terminais (ângulo ).
Passo 4
Calcular a fem interna por fase do motor na condição inicial (usando
) e comentar o significado físico.
- Usamos a relação por fase (para o motor):
Substituindo:
Portanto
em retangular:
Magnitude e ângulo:
- Interpretação: o motor, para produzir a potência solicitada com corrente em fase com
, precisa de uma fem interna maior que (a componente imaginária “empurra” para um ângulo à frente da tensão).
Passo 5
Calcular a fem interna por fase do gerador na condição inicial (usando
) e interpretar.
- Reatância do gerador:
- Queda jX_g I:
- Assim
Magnitude e ângulo: - Interpretação: o gerador deve produzir uma fem interna um pouco maior que a tensão de terminais, com um pequeno avanço de ângulo, para suprir a corrente exigida pelo motor através de sua reatância síncrona.
Passo 6
Construção do diagrama fasorial pedido em (a) (descrição verbal + valores numéricos para traçar).
- Escolha de referência: vou tomar
como referência (eixo real positivo). - Corrente:
(em fase com , pois ). - Fem interna do motor:
. - Fem interna do gerador:
. - Quedas reativas (phasors a serem desenhados):
-
(é um vetor puramente imaginário positivo, ou seja, gire em e multiplique por ). -
.
-
- Como montar o desenho fasorial: desenhe primeiro
no eixo real; desenhe sobre (mesma direção); desenhe perpendicular (para cima); some vetorialmente e para obter ; para o gerador some e para obter . Esses são os pontos-chave do diagrama fasorial.
Passo 7
Agora passamos ao item (b): aumentar o fluxo do motor em
. Como modelar isso corretamente?
- Aumentar o fluxo do motor em
significa que a magnitude da fem interna do motor cresce : - Importante: o ângulo de
(relativo a alguma referência) não permanece necessariamente igual ao anterior; ele ajusta-se para que o motor entregue a mesma potência mecânica (assumimos que a carga mecânica do motor permanece em ). Ou seja, a magnitude de é conhecida, o seu ângulo é desconhecido e precisa ser determinado pelo equilíbrio de potência e pelas equações fasoriais do circuito. - Mantemos a excitação do gerador como estava (portanto
mantido igual a ).
Passo 8
Montar as equações para resolver (b) e derivar uma fórmula que permite achar o novo
.
- Temos as duas equações por fase:
Subtraindo: Logo: - A potência elétrica absorvida pelo motor (trifásica) é
e deve ser mantida igual a . - Substituindo formalmente e fazendo manipulação algébrica (detalho abaixo) obtemos uma equação escalar em função do ângulo
de (isto é, ). A derivação simples e elegante conduz à expressão: mas eu vou calcular numericamente por passos para evitar erro simbólico e ficar didático.
Passo 9
Resolução numérica do sistema para encontrar o novo
(cálculos passo-a-passo, sem pular etapas).
- Valores já conhecidos (relembrando):
- Suponha
. Escrevemos e
A expressão direta para a potência trifásica, após manipulação algebraica detalhada (ver passos interinos no raciocínio), reduz-se a:onde o fator é o resultado numérico de . - Impor
W: - Escrevemos o lado esquerdo na forma
com Assim:
Soluções principais para
são
ou
.
- Escolhemos a solução consistente com a pequena variação do ângulo anterior (
), portanto: - Com esse
calculamos e : - Corrente por fase:
usando a forma já simplificada: Módulo: , ângulo . - Tensão por fase nos terminais (usando
): - Calcule
e - Como mostrado na dedução,
Módulo: - Calcule
- Tensão linha a linha resultante:
- Verificação rápida da potência (cheque):
(diferença pequena por arredondamentos), portanto consistente.
Resposta
(a) Diagrama fasorial (valores por fase, referência
):
(b) Nova tensão de terminais (linha a linha) após aumentar o fluxo do motor em
: