temos um motor síncrono de 480 \mathrm{~V}, 100 \mathrm{~kW}, f.p. 0.8 \mathrm{ad}, 50 \mathrm{~Hz} e quatro pólos, ligado em Y com uma reatância de 1,8 ohms por fase. Todas as perdas são desprezíveis.
a) Considere que motor esteja operando em condições nominais, qual deve ser o valor da tensão de armadura Ea?
b) Considerando que a excitação seja mantida constante, a partir das condições descritas no item a), qual é o limite teórico de potência do motor (limite de estabilidade estática)?
Este motor deve operar numa faixa de velocidades de 300 a 1500 RPM , para isto é utilizado um inversor de freqüência que deverá ajustar a frequencia da tensão aplicada na armadura.
c) Qual deve ser a faixa de frequência do inversor?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • Tensão de linha V_L = 480\\ \mathrm{V}.
    • Potência nominal P_{\text{out}} = 100\\ \mathrm{kW}.
    • Fator de potência \text{fp}=0{,}8 atrasado (ou seja, corrente defasada para trás da tensão).
    • Frequência nominal f=50\\ \mathrm{Hz}.
    • Número de pólos: 4.
    • Ligação em estrela (Y).
    • Reatância síncrona por fase X_s = 1{,}8\\ \Omega.
    • Todas as perdas são desprezíveis.
  • O enunciado pede:
    (a) Para o motor operando nas condições nominais, qual deve ser o valor da tensão de armadura E_a?
    (b) Mantida a excitação constante (ou seja, E_a fixo no valor do item (a)), qual é o limite teórico de potência do motor (limite de estabilidade estática)?
    (c) Para o motor operar entre 300 e 1500\\ \mathrm{rpm}, qual deve ser a faixa de frequência do inversor?

Passo 2

Primeiros conceitos e equações que vamos usar (pequena aula prática).
  • Em máquina síncrona, desprezando resistências, a relação fasorial entre a tensão terminal por fase V_t, a corrente de armadura por fase I_a e a tensão interna (tensão de armadura gerada) E_a é, em forma fasorial:
E_a = V_t + j X_s I_a.
Explicando: o termo jX_s I_a representa a queda de tensão na reatância síncrona; o operador j indica que essa queda está defasada de +90^\circ em relação à corrente (transforma componente real em imaginária, etc.). Vamos tomar V_t como referência angular ( 0^\circ).
  • A potência ativa trifásica entregue pela rede é dada por
P = \sqrt{3}\,V_L I_L \,\text{fp},
onde V_L é tensão de linha e I_L a corrente de linha. Em ligação Y, a corrente de linha é a corrente de fase: I_L = I_a.
  • O ângulo de defasagem entre tensão e corrente \varphi é dado por
\cos\varphi = \text{fp}.
Como o fp é atrasado, a corrente tem ângulo -\varphi quando tomamos V_t com ângulo 0^\circ.

Passo 3

Calcular a tensão de fase (terminal por fase) V_t e a corrente de linha/fase I_a usando os dados nominais.
  • Tensão de fase em ligação Y:
V_t = \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{480}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.
Vamos calcular numericamente:
V_t \approx \frac{480}{1{,}73205} \approx 277{,}13\\ \mathrm{V}.
  • Corrente nominal (trifásica):
I_a = I_L = \frac{P_{\text{out}}}{\sqrt{3}\,V_L\,\text{fp}}.
Substituindo valores:
I_a = \frac{100\,000}{\sqrt{3}\cdot 480 \cdot 0{,}8}.
Calculando:
I_a \approx 150{,}28\\ \mathrm{A} \quad\text{(aprox. }150{,}3\\ \mathrm{A}\text{)}.

Passo 4

Determinar o ângulo de defasagem \varphi entre V_t e I_a.
  • Como \cos\varphi = 0{,}8, temos
\varphi = \operatorname{arccos}(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ.
Como o fator de potência é atrasado, a corrente é \;I_a = 150{,}28\angle -36{,}87^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Calcular o termo jX_s I_a (queda de tensão na reatância) em forma fasorial e em componentes retangulares.
  • Magnitude:
|jX_s I_a| = X_s \cdot I_a = 1{,}8 \cdot 150{,}28 \approx 270{,}51\\ \mathrm{V}.
  • Ângulo: multiplicar por j adiciona 90^\circ, então o ângulo do produto é
-36{,}87^\circ + 90^\circ = 53{,}13^\circ.
  • Assim em forma fasorial:
jX_s I_a \approx 270{,}51\angle 53{,}13^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Converter para forma retangular (para somar com V_t):
\Re(jX_s I_a) = 270{,}51\cos 53{,}13^\circ \approx 162{,}30\\ \mathrm{V},
\Im(jX_s I_a) = 270{,}51\sin 53{,}13^\circ \approx 216{,}40\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Somar vetorialmente V_t (referência) e jX_s I_a para obter E_a (fase por fase).
  • Escrevendo V_t em forma retangular:
V_t = 277{,}13 + j\,0\\ \mathrm{V}.
  • Somando:
E_a = V_t + jX_s I_a = (277{,}13 + 162{,}30) + j(0 + 216{,}40).
E_a \approx 439{,}43 + j\,216{,}40\\ \mathrm{V}.
  • Agora magnitude e ângulo de E_a:
|E_a| = \sqrt{439{,}43^2 + 216{,}40^2} \approx 490{,}9\\ \mathrm{V},
\angle E_a = \arctan\!\left(\frac{216{,}40}{439{,}43}\right) \approx 26{,}2^\circ.
Interpretação prática: a excitação (tensão interna por fase) precisa ser maior que a tensão terminal devido à queda jX_s I_a; obtivemos E_a em módulo e ângulo.

Passo 7

Agora vamos ao item (b): limite teórico de potência (limite de estabilidade estática) mantendo E_a constante.
  • Para máquina síncrona (desprezando resistências), a potência elétrica trifásica transmitida entre E_a e V_t é dada por
P = \frac{3 V_t E_a}{X_s} \sin\delta,
onde \delta é o ângulo de torque (ângulo entre E_a e V_t). O máximo teórico ocorre quando \sin\delta = 1 (isto é, \delta = 90^\circ).
  • Portanto o limite teórico de potência (estabilidade estática) é
P_{\max} = \frac{3 V_t E_a}{X_s}.
  • Substituindo V_t \approx 277{,}13\\ \mathrm{V}, E_a \approx 490{,}9\\ \mathrm{V} e X_s = 1{,}8\\ \Omega:
P_{\max} \approx \frac{3\cdot 277{,}13\cdot 490{,}9}{1{,}8}\\ \mathrm{W}.
Calculemos numericamente:
P_{\max} \approx 226{,}7\\ \mathrm{kW}.
Comentário: isso é um limite teórico (sem perdas, sem limites térmicos nem de mecânica). Na prática o motor costuma perder sincronismo antes por outros motivos.

Passo 8

Item (c): faixa de frequência do inversor para obter a faixa de rotações desejada.
  • Fórmula da velocidade síncrona:
n_s = \frac{120\,f}{P},
onde n_s é em rpm, f em Hz e P é o número de pólos.
  • Aqui P=4. Inverter a fórmula para obter a frequência necessária para uma dada n_s:
f = \frac{n_s P}{120}.
  • Para n_s = 300\\ \mathrm{rpm}:
f_{\min} = \frac{300\cdot 4}{120} = 10\\ \mathrm{Hz}.
  • Para n_s = 1500\\ \mathrm{rpm}:
f_{\max} = \frac{1500\cdot 4}{120} = 50\\ \mathrm{Hz}.
Portanto o inversor deve fornecer frequências entre 10\\ \mathrm{Hz} e 50\\ \mathrm{Hz}. Observação prática: a potência disponível e o controle de fluxo magnético podem exigir ajuste de tensão juntamente com a frequência (V/f), mas a pergunta pediu apenas a faixa de frequência.

Resposta

(a) |E_a| \approx 490{,}9\\ \mathrm{V} e \angle E_a \approx 26{,}2^\circ por fase.
(b) P_{\max} \approx 226{,}7\\ \mathrm{kW} (limite teórico, \sin\delta=1).
(c) Faixa de frequência do inversor: 10\\ \mathrm{Hz} a 50\\ \mathrm{Hz}.

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