Temos um paralelepípedo retangular com base quadrada. A aresta maior do paralelepípedo tem o dobro da medida de sua aresta menor. A aresta menor foi medida como sendo 4 cm , com um possível erro de medida de
. Usando diferenciais, estime o erro máximo ao se calcular a área da superfície do paralelepípedo (
) a partir da medida de sua aresta menor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelepípedo retangular com base quadrada. A aresta maior é o dobro da aresta menor, que mede 4 cm, com um possível erro de medida de
cm. Nosso objetivo é usar diferenciais para estimar o erro máximo ao calcular a área da superfície desse paralelepípedo. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular a área de um paralelepípedo e como aplicar diferenciais para estimar erros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões do paralelepípedo. Sabemos que a base é quadrada, então as duas arestas da base têm o mesmo comprimento. Vamos chamar a aresta menor de
e a aresta maior de
. De acordo com o enunciado,
. Aqui,
cm e o erro em
, que vamos chamar de
, é
cm.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da superfície do paralelepípedo. A área da superfície (
) de um paralelepípedo retangular é dada pela fórmula:
Mas como a base é quadrada e temos apenas duas dimensões principais (base e altura), podemos simplificar. Supondo que a terceira dimensão seja também derivada de
ou
, mas para clareza, vamos considerar que temos um paralelepípedo com base quadrada e altura
. Então, a área total fica:
Mas para mantermos a simplicidade, vamos considerar que todas as arestas dependem de
e
, então a fórmula simplificada da área é:
Passo 4
Agora, vamos usar diferenciais para estimar o erro na área. A diferencial de
, denotada por
, nos dá uma aproximação do erro na área em função do erro em
. Calculamos a diferencial tomando a derivada de
em relação a
:
Primeiro, achamos a derivada de
:
Passo 5
Agora, substituímos
cm e
cm na expressão da diferencial:
Simplificando:
Resposta
O erro máximo estimado ao calcular a área da superfície do paralelepípedo é aproximadamente
.