Temos um paralelepípedo retangular com base quadrada. A aresta maior do paralelepípedo tem o dobro da medida de sua aresta menor. A aresta menor foi medida como sendo 4 cm , com um possível erro de medida de 1110 cm. Usando diferenciais, estime o erro máximo ao se calcular a área da superfície do paralelepípedo ( em cm^2 ) a partir da medida de sua aresta menor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelepípedo retangular com base quadrada. A aresta maior é o dobro da aresta menor, que mede 4 cm, com um possível erro de medida de 1110 cm. Nosso objetivo é usar diferenciais para estimar o erro máximo ao calcular a área da superfície desse paralelepípedo. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular a área de um paralelepípedo e como aplicar diferenciais para estimar erros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões do paralelepípedo. Sabemos que a base é quadrada, então as duas arestas da base têm o mesmo comprimento. Vamos chamar a aresta menor de x e a aresta maior de y. De acordo com o enunciado, y = 2x. Aqui, x = 4 cm e o erro em x, que vamos chamar de dx, é 1110 cm.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da superfície do paralelepípedo. A área da superfície ( A) de um paralelepípedo retangular é dada pela fórmula:
A = 2xy + 2x z + 2y z
Mas como a base é quadrada e temos apenas duas dimensões principais (base e altura), podemos simplificar. Supondo que a terceira dimensão seja também derivada de x ou y, mas para clareza, vamos considerar que temos um paralelepípedo com base quadrada e altura z. Então, a área total fica:
A = 2x^2 + 4x z
Mas para mantermos a simplicidade, vamos considerar que todas as arestas dependem de x e y = 2x, então a fórmula simplificada da área é:
A = 2x^2 + 4x(2x) = 2x^2 + 8x^2 = 10x^2

Passo 4

Agora, vamos usar diferenciais para estimar o erro na área. A diferencial de A, denotada por dA, nos dá uma aproximação do erro na área em função do erro em x. Calculamos a diferencial tomando a derivada de A em relação a x:
dA = dAdx cdot dx
Primeiro, achamos a derivada de A:
dAdx = ddx(10x^2) = 20x

Passo 5

Agora, substituímos x = 4 cm e dx = 1110 cm na expressão da diferencial:
dA = 20x cdot dx = 20 cdot 4 cdot 1110 = 80 cdot 1110
Simplificando:
dA = 80110 = 811 approx 0,727 cm^2

Resposta

O erro máximo estimado ao calcular a área da superfície do paralelepípedo é aproximadamente 0,!727 , cm^2.

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