Considere a função f: R R dada por f(x)=a x^2+12 x^3+25 x, sendo a um número real positivo. Dado que a é escolhido como sendo o maior valor possível para que f seja não decrescente em todo o seu domínio (ou seja, f(x) <= f(y) se x <= y ), determine o único ponto de inflexão de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a função $ f(x) = a x^{2} + 12 x^{3} + 25 x $, onde $ a $ é um número real positivo. A missão é encontrar o maior valor possível de $ a $ que faz a função ser não decrescente em todo o seu domínio. Depois disso, com esse valor de $ a $, a gente precisa descobrir o ponto de inflexão da função. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, como a primeira e a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, pra função ser não decrescente em todo lugar, a derivada primeira dela, $ f’(x) $, precisa ser sempre maior ou igual a zero. Vamos calcular essa derivada.
A função é:
f'(x)
Derivando em relação a $ x $:
f(x) = a x^2 + 12 x^3 + 25 x
Pra garantir que $ f’(x) \geq 0 $ para todo $ x $, a gente precisa analisar essa expressão.

Passo 3

A derivada $ f’(x) = 36x^{2} + 2a x + 25 $ é uma função quadrática. Pra ela ser sempre não negativa, o coeficiente de $ x^{2} $ (que é 36) deve ser positivo, o que já está certo. Além disso, o discriminante dessa quadrática precisa ser menor ou igual a zero.
O discriminante $ \Delta $ de uma equação quadrática $ ax^{2} + bx + c $ é dado por:
f'(x) = 36x^2 + 2a x + 25
Aplicando na nossa derivada:
x^2
De
ax^2 + bx + c
Então:
De

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade $ \Delta \leq 0 $:
De
(2a)^2 - 4 times 36 times 25 <= 0
4a^2 - 3600 <= 0
4a^2 <= 3600
a^2 <= 900
a <= raiz900
Como $ a $ é positivo, o maior valor possível de $ a $ que satisfaz essa condição é $ a = 30 $.

Passo 5

Agora que sabemos que $ a = 30 $, vamos encontrar o ponto de inflexão da função. O ponto de inflexão acontece onde a segunda derivada $ f’’(x) $ muda de sinal, ou seja, onde ela é igual a zero.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada:
a = 30
Derivando novamente:
f''(x)
Substituindo $ a = 30 $:
f'(x) = 36x^2 + 2a x + 25
Igualando a zero pra achar o ponto de inflexão:
f''(x) = 72x + 2a
a = 30
f''(x) = 72x + 60
72x + 60 = 0

Passo 6

Então, o ponto de inflexão ocorre em $ x = -\frac{5}{6} $. Para saber as coordenadas completas, vamos calcular $ f\left(-\frac{5}{6}\right) $:
x = -56
Calculando cada termo:
f(-56)
f(-56) = 30 (-56)^2 + 12 (-56)^3 + 25 (-56)
30 times 2536 = 75036
Somando tudo:
12 times -125216 = -1500216 = -12518

Resposta

O único ponto de inflexão da função é $ \left( -\frac{5}{6},\ -\frac{125}{18} \right) $.

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