Considere a função
dada por
, sendo
um número real positivo. Dado que
é escolhido como sendo o maior valor possível para que
seja não decrescente em todo o seu domínio (ou seja,
se
), determine o único ponto de inflexão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a função $ f(x) = a x^{2} + 12 x^{3} + 25 x $, onde $ a $ é um número real positivo. A missão é encontrar o maior valor possível de $ a $ que faz a função ser não decrescente em todo o seu domínio. Depois disso, com esse valor de $ a $, a gente precisa descobrir o ponto de inflexão da função. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, como a primeira e a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, pra função ser não decrescente em todo lugar, a derivada primeira dela, $ f’(x) $, precisa ser sempre maior ou igual a zero. Vamos calcular essa derivada.
A função é:
Derivando em relação a $ x $:
Pra garantir que $ f’(x) \geq 0 $ para todo $ x $, a gente precisa analisar essa expressão.
Passo 3
A derivada $ f’(x) = 36x^{2} + 2a x + 25 $ é uma função quadrática. Pra ela ser sempre não negativa, o coeficiente de $ x^{2} $ (que é 36) deve ser positivo, o que já está certo. Além disso, o discriminante dessa quadrática precisa ser menor ou igual a zero.
O discriminante $ \Delta $ de uma equação quadrática $ ax^{2} + bx + c $ é dado por:
Aplicando na nossa derivada:
Então:
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade $ \Delta \leq 0 $:
Como $ a $ é positivo, o maior valor possível de $ a $ que satisfaz essa condição é $ a = 30 $.
Passo 5
Agora que sabemos que $ a = 30 $, vamos encontrar o ponto de inflexão da função. O ponto de inflexão acontece onde a segunda derivada $ f’’(x) $ muda de sinal, ou seja, onde ela é igual a zero.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada:
Derivando novamente:
Substituindo $ a = 30 $:
Igualando a zero pra achar o ponto de inflexão:
Passo 6
Então, o ponto de inflexão ocorre em $ x = -\frac{5}{6} $. Para saber as coordenadas completas, vamos calcular $ f\left(-\frac{5}{6}\right) $:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
O único ponto de inflexão da função é $ \left( -\frac{5}{6},\ -\frac{125}{18} \right) $.