O valor mínimo da função f(x)=(x+3) cdot(x-2)^2 cdot(x-4)^3 no intervalo [1,3] é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) = (x + 3)(x - 2)^{2}(x - 4)^{3} $ e precisa achar o valor mínimo dessa função no intervalo de $ x $ entre 1 e 3. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a função atinge seus mínimos e máximos. Vamos precisar entender como derivar funções polinomiais e como analisar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar onde a função $ f(x) $ tem pontos críticos, ou seja, onde a derivada $ f’(x) $ é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser onde a função atinge seus mínimos ou máximos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. Usando a regra do produto e a regra da cadeia, derivamos cada parte:
f(x)
A derivada $ f’(x) $ fica assim:
f(x) = (x + 3)(x - 2)^2(x - 4)^3

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada para facilitar encontrar onde ela é igual a zero. Podemos fatorar $ (x + 3)(x - 2)(x - 4)^{2} $:
(x + 3)(x - 2)(x - 4)^2
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
f'(x) = (x + 3)(x - 2)(x - 4)^2 [1 + 2(x - 4) + 3(x - 2)]
Então, a derivada fica:
1 + 2x - 8 + 3x - 6 = 5x - 13

Passo 5

Para achar os pontos críticos, resolvemos $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Isso nos dá as soluções:
(x + 3)(x - 2)(x - 4)^2(5x - 13) = 0
Como estamos no intervalo x = -3, x = 2, x = 4, x = 135 , apenas $ x = 2 $ e $ x = \frac{13}{5} $ estão dentro desse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nos pontos críticos dentro do intervalo e nos extremos do intervalo (1 e 3):
  1. $ f(1) = (1 + 3)(1 - 2)^{2}(1 - 4)^{3} = 4 \cdot 1 \cdot (-27) = -108 $
  2. $ f(2) = (2 + 3)(2 - 2)^{2}(2 - 4)^{3} = 5 \cdot 0 \cdot (-8) = 0 $
  3. $ f\left(\frac{13}{5}\right) = \left(\frac{13}{5} + 3\right)\left(\frac{13}{5} - 2\right)^{2}\left(\frac{13}{5} - 4\right)^{3} $
  4. $ f(3) = (3 + 3)(3 - 2)^{2}(3 - 4)^{3} = 6 \cdot 1 \cdot (-1) = -6 $
Vamos calcular $ f\left(\frac{13}{5}\right) $:
f(x)
Então:
f(1) = (1 + 3)(1 - 2)^2(1 - 4)^3 = 4 cdot 1 cdot (-27) = -108

Passo 7

Agora, com todos os valores calculados:
  • $ f(1) = -108 $
  • $ f(2) = 0 $
  • $ f\left(\frac{13}{5}\right) \approx -5.5232 $
  • $ f(3) = -6 $
O menor valor entre esses é $ -108 $ em $ x = 1 $. Mas como estamos procurando o mínimo no intervalo fechado f(1) = -108 , incluímos os extremos. Portanto, o valor mínimo da função nesse intervalo é $ -108 $.

Resposta

O valor mínimo da função no intervalo [1, 3] é $ -108 $.

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