A temperatura de bulbo seco do ar é de 62^{\circ} \mathrm{C} e a de bulbo úmido 40^{\circ} \mathrm{C}. Utilizando a Carta Psicrométrica e fórmulas correspondentes determinar:
umidade porcentual

Passo 1

O enunciado dá as temperaturas de bulbo seco e bulbo úmido e pede a umidade relativa (umidade percentual) do ar. Dados fornecidos (peguei do enunciado):
  • Temperatura de bulbo seco: T_{db}=62^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de bulbo úmido: T_{wb}=40^\circ\mathrm{C}.
Vou assumir pressão atmosférica ao nível do mar, pois o enunciado não a fornece e é a hipótese usual para este tipo de exercício:
  • Pressão total do ar: P=101{,}325\\ \mathrm{kPa}=101{,}325\\ \mathrm{Pa}.
O que se pede:
  • Determinar a umidade relativa \varphi (em porcentagem) correspondente a esses valores de T_{db} e T_{wb}.

Passo 2

Explicar a estratégia e as fórmulas principais (sem pular etapas).
  1. Umidade relativa \varphi é a razão entre a pressão parcial do vapor d’água no ar e e a pressão de saturação do vapor à temperatura de bulbo seco e_{s}(T_{db}):
\varphi=\frac{e}{e_{s}(T_{db})}\times100\%.
Aqui:
  • e é a pressão parcial real do vapor na mistura ar–vapor.
  • e_{s}(T) é a pressão de saturação do vapor à temperatura T.
  1. A pressão parcial e pode ser obtida a partir da temperatura de bulbo úmido usando a equação psicrométrica (equilíbrio adiabático no termômetro de bulbo úmido):
e = e_{s}(T_{wb}) - \gamma\,(T_{db}-T_{wb}),
onde \gamma é a constante psicrométrica (em unidades de pressão por grau Celsius). Esta forma é uma expressão aproximada, muito usada em cálculos práticos e equivalente ao uso da carta psicrométrica.
  1. A constante psicrométrica \gamma pode ser calculada por
\gamma=\frac{c_p\,P}{0{,}622\,\lambda},
com:
  • c_p calor específico do ar a pressão constante, c_p\approx1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)};
  • P pressão total do ar (em Pa);
  • \lambda calor latente de vaporização da água, \lambda\approx2{,}45\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg};
  • o fator 0{,}622 vem da razão das massas molares vapor/ar.
  1. Para calcular as pressões de saturação e_{s}(T) vou usar a fórmula de Magnus–Tetens (boa precisão para a faixa de temperaturas aqui):
e_{s}(T)=0{,}61078\;\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa)},
onde T está em ^\circ\mathrm{C}. Observação: como \gamma será usado em kPa/°C, manterei e_s em kPa.
Explicação rápida do porquê: e_s(T) dá a pressão máxima que o vapor pode ter (saturação) àquela temperatura; o bulbo úmido conecta a e_s(T_{wb}) e a perda por evaporação expressa pela constante psicrométrica.

Passo 3

Calcular a pressão de saturação à temperatura de bulbo úmido T_{wb}=40^\circ\mathrm{C} usando Magnus–Tetens.
Escrevo a fórmula e substituo:
e_{s}(40)=0{,}61078\;\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot40}{40+237{,}3}\right)\\ \text{(kPa)}.
Calculemos o expoente passo a passo:
\frac{17{,}27\cdot40}{40+237{,}3}=\frac{690{,}8}{277{,}3}\approx2{,}4915.
Agora a exponencial:
\exp(2{,}4915)\approx12{,}09.
Finalmente:
e_{s}(40)=0{,}61078\cdot12{,}09\approx7{,}38\\ \text{(kPa)}.
Portanto e_{s}(T_{wb})\approx7{,}38\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a constante psicrométrica \gamma. Primeiro uso a forma com P em Pa e obtenho \gamma em Pa/°C, depois converto para kPa/°C para combinar com e_s.
Substituindo:
\gamma=\frac{c_p\,P}{0{,}622\,\lambda} =\frac{1005\cdot101{,}325}{0{,}622\cdot2{,}450{,}000}\\ \text{(Pa/°C)}.
Calcule numerador e denominador:
1005\cdot101{,}325=101{,}831{,}625, \qquad 0{,}622\cdot2{,}450{,}000=1{,}523{,}900.
Dividindo:
\gamma\approx\frac{101{,}831{,}625}{1{,}523{,}900}\approx66{,}83\\ \text{Pa/°C}.
Convertendo para kPa/°C (dividindo por 1000):
\gamma\approx0{,}06683\\ \text{(kPa/°C)}.
Observação prática: uma forma comum é \gamma\approx0{,}00066\cdot P_{(kPa)}; com P_{(kPa)}=101{,}325 obtém-se \gamma\approx0{,}06686\\ \text{kPa/°C}, consistente com o valor acima.

Passo 5

Calcular a pressão parcial do vapor e a partir da equação psicrométrica:
e = e_{s}(T_{wb}) - \gamma\,(T_{db}-T_{wb}).
Substituo os valores (tudo em kPa e °C):
e \approx 7{,}38 - 0{,}06683\cdot(62-40).
Compute a diferença de temperaturas:
T_{db}-T_{wb}=62-40=22\\ ^\circ\mathrm{C}.
Multiplicação:
0{,}06683\cdot22\approx1{,}47\\ \text{(kPa)}.
Subtraindo:
e\approx7{,}38-1{,}47=5{,}91\\ \text{(kPa)}.
Portanto a pressão parcial real do vapor no ar é e\approx5{,}91\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Calcular a pressão de saturação à temperatura de bulbo seco T_{db}=62^\circ\mathrm{C} (usada no denominador da umidade relativa).
Usando Magnus–Tetens:
e_{s}(62)=0{,}61078\;\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot62}{62+237{,}3}\right)\\ \text{(kPa)}.
Calcule o expoente:
\frac{17{,}27\cdot62}{62+237{,}3}=\frac{1{,}070{,}74}{299{,}3}\approx3{,}5769.
Exponencial:
\exp(3{,}5769)\approx35{,}74.
Logo
e_{s}(62)=0{,}61078\cdot35{,}74\approx21{,}84\\ \text{(kPa)}.

Passo 7

Agora calculo a umidade relativa \varphi:
\varphi=\frac{e}{e_{s}(T_{db})}\times100\%=\frac{5{,}91}{21{,}84}\times100\%.
Fazendo a conta:
\frac{5{,}91}{21{,}84}\approx0{,}2706,
portanto
\varphi\approx27{,}06\%\approx27{,}1\%.
Interpretação rápida: com um bulbo seco muito quente ( 62^\circ\mathrm{C}) e bulbo úmido 40^\circ\mathrm{C}, o ar está relativamente seco — só cerca de 27\% de umidade relativa.

Passo 8

Observações finais e dicas para prova:
  • Usei a fórmula de Magnus–Tetens para e_s(T); ela é a prática padrão e suficientemente precisa para provas e problemas de engenharia.
  • Usei a equação psicrométrica aproximada com \gamma; ela assume equilíbrio no bulbo úmido e pressão atmosférica conhecida. Se a pressão local for diferente de 1\\ \text{atm}, substituir P na fórmula de \gamma.
  • Na carta psicrométrica você obteria o mesmo resultado lendo a linha correspondente a T_{db}=62^\circ\mathrm{C} e encontrando a curva que passa por T_{wb}=40^\circ\mathrm{C}; o cálculo aqui é o método algébrico equivalente e reproduzível sem a carta.

Resposta

\varphi \approx 27{,}1\%

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