Após 40 horas de carbonetação, a concentração de carbono numa profundidade de
em direção ao interior de uma liga ferro-carbono foi de
em massa. Este tratamento foi conduzido a
e a concentração de carbono superficial mantida constante em
em massa. Determine a concentração inicial de carbono nesta liga.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Dado: concentração superficial mantida constante:
(em massa). - Dado: após
horas, a concentração a do exterior (em direção ao interior) é (em massa). - Dado: temperatura do tratamento
. - Dado: tempo
. - Dado: profundidade
. - Pedido: determinar a concentração inicial da liga
(em massa) antes da carburização.
Observações numéricas que vou usar (converto unidades para o SI):
-
. -
Passo 2
Qual é o modelo físico e a equação que usamos?
Para um tratamento de carbotização (carbonetação) com superfície mantida a concentração constante e penetrando numa peça que pode ser tratada como semi-infinita, a solução da equação de difusão de Fick (com condição de contorno
,
,
) é dada pela solução com função erro:
Explicando as variáveis:
-
é a concentração no ponto a profundidade depois de tempo . -
é a concentração mantida na superfície. -
é a concentração inicial (no interior) que queremos achar. -
é o coeficiente de difusão do carbono na fase (austenita) à temperatura considerada. -
é a função erro, definida por .
Passo 3
Isolando
na fórmula para poder calcular:
Para calcular numericamente precisamos do valor de
(coeficiente de difusão do carbono em austenita a
). Esse valor costuma ser fornecido em tabelas. Vou adotar neste cálculo um valor tabelado típico:
Se houver uma tabela diferente disponível, basta substituir
e refazer os passos numéricos.]
Passo 4
Agora calculo os termos intermediários com as unidades corretas.
Dados numéricos:
Calculo
:
Calculo o argumento da função erro:
Passo 5
Avalio a função erro
. Usando tabela ou calculadora para
obtemos aproximadamente
(Se for usado outro valor de
, esse argumento e o valor da
mudam; por isso o resultado para
depende sensivelmente do
adotado.)
Passo 6
Agora aplico a fórmula isolada para
:
Substituindo números (tudo em porcentagem de massa):
Faço a divisão:
logo
Passo 7
Interpretação rápida e observação de sensibilidade:
- O resultado obtido é
em massa (aproximadamente ). - Nota importante: o valor final depende do coeficiente de difusão
adotado. Usei (valor típico tabelado). Se uma tabela diferente indicar outro para carbono a , o cálculo deve ser refeito substituindo esse . Valores de um pouco menores levariam a maior; valores de maiores levariam a menor.