Após 40 horas de carbonetação, a concentração de carbono numa profundidade de 2,5 \mathrm{~mm} em direção ao interior de uma liga ferro-carbono foi de 0,45 \% em massa. Este tratamento foi conduzido a 1000^{\circ} \mathrm{C} e a concentração de carbono superficial mantida constante em 1,30 \% em massa. Determine a concentração inicial de carbono nesta liga.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dado: concentração superficial mantida constante: C_s = 1,30\% (em massa).
  • Dado: após 40 horas, a concentração a 2{,}5\\ \mathrm{mm} do exterior (em direção ao interior) é C(x,t)=0,45\% (em massa).
  • Dado: temperatura do tratamento 1000^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: tempo t = 40\\ \mathrm{h}.
  • Dado: profundidade x = 2{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Pedido: determinar a concentração inicial da liga C_0 (em massa) antes da carburização.
Observações numéricas que vou usar (converto unidades para o SI):
  • x = 2{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0025\\ \mathrm{m}.
  • t = 40\\ \mathrm{h} = 40\times3600 = 144000\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Qual é o modelo físico e a equação que usamos?
Para um tratamento de carbotização (carbonetação) com superfície mantida a concentração constante e penetrando numa peça que pode ser tratada como semi-infinita, a solução da equação de difusão de Fick (com condição de contorno C(x,0)=C_0, C(0,t)=C_s, C(\infty,t)=C_0) é dada pela solução com função erro:
C(x,t)=C_s - \bigl(C_s - C_0\bigr)\,\mathrm{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D t}}\right).
Explicando as variáveis:
  • C(x,t) é a concentração no ponto a profundidade x depois de tempo t.
  • C_s é a concentração mantida na superfície.
  • C_0 é a concentração inicial (no interior) que queremos achar.
  • D é o coeficiente de difusão do carbono na fase (austenita) à temperatura considerada.
  • \mathrm{erf}(\cdot) é a função erro, definida por \mathrm{erf}(u)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^u e^{-s^2}\,ds.

Passo 3

Isolando C_0 na fórmula para poder calcular:
\begin{aligned} C(x,t)&=C_s - (C_s-C_0)\,\mathrm{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)\\[4pt] \Rightarrow C_s-C(x,t)&=(C_s-C_0)\,\mathrm{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)\\[4pt] \Rightarrow C_0 &= C_s - \dfrac{C_s - C(x,t)}{\displaystyle \mathrm{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D t}}\right)}. \end{aligned}
Para calcular numericamente precisamos do valor de D (coeficiente de difusão do carbono em austenita a 1000^\circ\mathrm{C}). Esse valor costuma ser fornecido em tabelas. Vou adotar neste cálculo um valor tabelado típico:
D = 2{,}0\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s}\quad(\text{carbono em austenita a }1000^\circ\mathrm{C},\\ \text{valor tabelado}).
Se houver uma tabela diferente disponível, basta substituir D e refazer os passos numéricos.]

Passo 4

Agora calculo os termos intermediários com as unidades corretas.
Dados numéricos:
C_s = 1{,}30\%,\qquad C(x,t)=0{,}45\%,\qquad x=0{,}0025\\ \mathrm{m},\qquad t=144000\\ \mathrm{s},
D=2{,}0\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s}.
Calculo \sqrt{D t}:
D t = 2{,}0\times 10^{-11}\times 144000 = 2{,}88\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2},
\sqrt{D t} = \sqrt{2{,}88\times 10^{-6}} = 1{,}697056\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Calculo o argumento da função erro:
\frac{x}{2\sqrt{D t}} = \frac{0{,}0025}{2\times 1{,}697056\times 10^{-3}} = 0{,}736652\\ (\text{adimensional}).

Passo 5

Avalio a função erro \mathrm{erf}(0{,}736652). Usando tabela ou calculadora para \mathrm{erf} obtemos aproximadamente
\mathrm{erf}\!\bigl(0{,}736652\bigr)\approx 0{,}699.
(Se for usado outro valor de D, esse argumento e o valor da \mathrm{erf} mudam; por isso o resultado para C_0 depende sensivelmente do D adotado.)

Passo 6

Agora aplico a fórmula isolada para C_0:
C_0 = C_s - \frac{C_s - C(x,t)}{\mathrm{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}\right)}.
Substituindo números (tudo em porcentagem de massa):
C_0 = 1{,}30 - \frac{1{,}30 - 0{,}45}{0{,}699} = 1{,}30 - \frac{0{,}85}{0{,}699}.
Faço a divisão:
\frac{0{,}85}{0{,}699}\approx 1{,}216,
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C_0 \approx 1{,}30 - 1{,}216 = 0{,}084\\ \% \text{ (em massa)}.

Passo 7

Interpretação rápida e observação de sensibilidade:
  • O resultado obtido é C_0\approx 0{,}084\% em massa (aproximadamente 0{,}08\%).
  • Nota importante: o valor final depende do coeficiente de difusão D adotado. Usei D=2{,}0\times10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s} (valor típico tabelado). Se uma tabela diferente indicar outro D para carbono a 1000^\circ\mathrm{C}, o cálculo deve ser refeito substituindo esse D. Valores de D um pouco menores levariam a C_0 maior; valores de D maiores levariam a C_0 menor.

Resposta

0{,}084\%

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